Как доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник является прямоугольным?

Геометрия 9 класс Медианы и прямоугольные треугольники медиана треугольника половина стороны прямоугольный треугольник доказательство свойства геометрия треугольника Новый

Давайте разберемся с этой задачей!

Мы знаем, что медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то это действительно очень интересный случай!

Вот шаги, которые помогут нам доказать это:

1. Обозначим треугольник ABC:
• Пусть M — середина стороны BC.
• Тогда AM — медиана, и по условию AM = 1/2 * BC.
2. Используем теорему о медиане:
• Согласно теореме о медиане, длина медианы AM может быть найдена по формуле:
• AM = 1/2 * √(2AB² + 2AC² - BC²).
3. Подставим условие:
• Мы знаем, что AM = 1/2 * BC.
• Подставляем это в формулу:
• 1/2 * BC = 1/2 * √(2AB² + 2AC² - BC²).
• Умножаем обе стороны на 2:
• BC = √(2AB² + 2AC² - BC²).
• Теперь возведем обе стороны в квадрат:
• BC² = 2AB² + 2AC² - BC².
• Соберем все в одну сторону:
• 2BC² - 2AB² - 2AC² = 0.
• Разделим на 2:
• BC² = AB² + AC².
4. Заключение:
• Мы получили известное равенство, которое говорит о том, что треугольник ABC является прямоугольным.
• Таким образом, мы доказали, что если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник является прямоугольным!

Вот так просто и увлекательно можно доказать эту теорему!