Как можно доказать, что четырёхугольник КНМР с вершинами в точках К(12; 6), Н(0;11), М(5;1), Р(7;6) является квадратом?

Геометрия 9 класс Свойства квадратов и доказательства доказательство квадрата четырёхугольник КНМР вершины квадрата геометрия 9 класс свойства квадрата Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник КНМР является квадратом, нам нужно проверить несколько условий:

1. Проверка равенства сторон: Все стороны квадрата равны.
2. Проверка углов: Все углы квадрата равны 90 градусов.
3. Проверка диагоналей: Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Давайте начнем с вычисления длины сторон. Для этого мы воспользуемся формулой расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

Расстояние = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Теперь найдем длины сторон КН, НМ, МР и РК:

• Длина стороны КН:

К(12; 6) и Н(0; 11)

Длина КН = √((0 - 12)² + (11 - 6)²) = √(144 + 25) = √169 = 13

• Длина стороны НМ:

Н(0; 11) и М(5; 1)

Длина НМ = √((5 - 0)² + (1 - 11)²) = √(25 + 100) = √125 = 5√5

• Длина стороны МР:

М(5; 1) и Р(7; 6)

Длина МР = √((7 - 5)² + (6 - 1)²) = √(4 + 25) = √29

• Длина стороны РК:

Р(7; 6) и К(12; 6)

Длина РК = √((12 - 7)² + (6 - 6)²) = √(25) = 5

Теперь мы видим, что длины сторон не равны (КН = 13, НМ = 5√5, МР = √29, РК = 5). Это уже указывает на то, что КНМР не является квадратом. Однако давайте проверим углы и диагонали для полноты картины.

Для проверки углов мы можем использовать векторный метод или проверить скалярное произведение векторов.

Проверим диагонали КМ и НР:

• Длина диагонали КМ:

К(12; 6) и М(5; 1)

Длина КМ = √((5 - 12)² + (1 - 6)²) = √(49 + 25) = √74

• Длина диагонали НР:

Н(0; 11) и Р(7; 6)

Длина НР = √((7 - 0)² + (6 - 11)²) = √(49 + 25) = √74

Диагонали равны, но для квадрата также нужно, чтобы они пересекались под прямым углом. Мы можем проверить это, найдя углы между диагоналями.

Таким образом, мы видим, что четырехугольник КНМР не является квадратом, так как его стороны не равны. Квадрат требует равенства всех сторон и углов, что в данном случае не выполняется.

В итоге, четырехугольник КНМР не является квадратом.