Как можно доказать что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра прямоугольника?

Геометрия 9 класс Свойства прямоугольника геометрия 9 класс сумма расстояний точка внутри прямоугольника вершины прямоугольника полупериметр доказательство свойства прямоугольника теорема расстояние планиметрия Новый

Чтобы доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра прямоугольника, давайте рассмотрим несколько шагов.

1. Определение полупериметра прямоугольника:

• Полупериметр прямоугольника равен половине суммы длин всех его сторон.
• Если длины сторон прямоугольника равны a и b, то полупериметр P равен: P = (a + b).

2. Обозначим точки:

• Обозначим вершины прямоугольника как A, B, C и D.
• Пусть точка M - произвольная точка внутри прямоугольника.

3. Сумма расстояний:

• Рассмотрим расстояния от точки M до вершин A, B, C и D: MA, MB, MC и MD.
• Сумма расстояний будет равна S = MA + MB + MC + MD.

4. Применение неравенства треугольника:

• Согласно неравенству треугольника, для любых трех точек A, B и C выполняется: AB + BC > AC.
• Применим это неравенство к треугольникам, образованным точкой M и двумя вершинами прямоугольника.

5. Анализ треугольников:

• Рассмотрим треугольники AMB, BMC, CMD и DMA.
• По неравенству треугольника, для каждого из этих треугольников верно:
1. MA + MB > AB,
2. MB + MC > BC,
3. MC + MD > CD,
4. MD + MA > DA.

6. Сложение неравенств:

• Сложим все неравенства:
1. MA + MB + MB + MC + MC + MD + MD + MA > AB + BC + CD + DA.
• Упрощая, получаем: 2(MA + MB + MC + MD) > (a + b).

7. Итог:

• Разделим обе стороны неравенства на 2:
1. MA + MB + MC + MD > (a + b) / 2.
• Таким образом, сумма расстояний от точки M до вершин прямоугольника больше полупериметра.

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра прямоугольника.