Чтобы доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра прямоугольника, давайте рассмотрим несколько шагов.

• Полупериметр прямоугольника равен половине суммы длин всех его сторон.
• Если длины сторон прямоугольника равны a и b, то полупериметр P равен: P = (a + b).

• Обозначим вершины прямоугольника как A, B, C и D.
• Пусть точка M - произвольная точка внутри прямоугольника.

• Рассмотрим расстояния от точки M до вершин A, B, C и D: MA, MB, MC и MD.
• Сумма расстояний будет равна S = MA + MB + MC + MD.

• Согласно неравенству треугольника, для любых трех точек A, B и C выполняется: AB + BC > AC.
• Применим это неравенство к треугольникам, образованным точкой M и двумя вершинами прямоугольника.

• Рассмотрим треугольники AMB, BMC, CMD и DMA.
• По неравенству треугольника, для каждого из этих треугольников верно:
1. MA + MB > AB,
2. MB + MC > BC,
3. MC + MD > CD,
4. MD + MA > DA.

• Сложим все неравенства:
1. MA + MB + MB + MC + MC + MD + MD + MA > AB + BC + CD + DA.
• Упрощая, получаем: 2(MA + MB + MC + MD) > (a + b).

• Разделим обе стороны неравенства на 2:
1. MA + MB + MC + MD > (a + b) / 2.
• Таким образом, сумма расстояний от точки M до вершин прямоугольника больше полупериметра.

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра прямоугольника.