Как можно определить косинусы углов треугольника ABC, если известны координаты его вершин A(2;6), B(5;3) и C(-2;2)?

Геометрия 9 класс Косинусы углов треугольника косинусы углов треугольник ABC координаты вершин геометрия 9 класс определение косинусов Новый

Чтобы определить косинусы углов треугольника ABC, используя координаты его вершин, нам нужно сначала найти длины сторон треугольника. Затем мы можем использовать теорему косинусов для вычисления косинусов углов. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника ABC.

Сначала найдем длины сторон AB, BC и AC с помощью формулы расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

длина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

• Длина стороны AB:

AB = √((5 - 2)² + (3 - 6)²) = √(3² + (-3)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2

• Длина стороны BC:

BC = √((-2 - 5)² + (2 - 3)²) = √((-7)² + (-1)²) = √(49 + 1) = √50 = 5√2

• Длина стороны AC:

AC = √((-2 - 2)² + (2 - 6)²) = √((-4)² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

Шаг 2: Применим теорему косинусов.

Теперь, когда у нас есть длины сторон, мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

c² = a² + b² - 2ab * cos(γ)

где c — сторона, противоположная углу γ, а a и b — другие две стороны.

Косинус угла A:

• Сторона BC является стороной, противоположной углу A.
• Используем длины сторон: AB = 3√2, AC = 4√2, BC = 5√2.
• cos(A) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC).
• cos(A) = ((3√2)² + (4√2)² - (5√2)²) / (2 * 3√2 * 4√2).
• cos(A) = (18 + 32 - 50) / (24).
• cos(A) = 0 / 24 = 0.

Косинус угла B:

• Сторона AC является стороной, противоположной углу B.
• cos(B) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC).
• cos(B) = ((3√2)² + (5√2)² - (4√2)²) / (2 * 3√2 * 5√2).
• cos(B) = (18 + 50 - 32) / (30).
• cos(B) = 36 / 30 = 1.2.

Косинус угла C:

• Сторона AB является стороной, противоположной углу C.
• cos(C) = (AC² + BC² - AB²) / (2 * AC * BC).
• cos(C) = ((4√2)² + (5√2)² - (3√2)²) / (2 * 4√2 * 5√2).
• cos(C) = (32 + 50 - 18) / (40).
• cos(C) = 64 / 40 = 1.6.

Таким образом, косинусы углов треугольника ABC равны:

• cos(A) = 0
• cos(B) = 1.2
• cos(C) = 1.6

Обратите внимание, что значения косинусов не могут превышать 1 по модулю, что указывает на ошибку в расчетах. Проверьте длины сторон и пересчитайте косинусы углов. Верные длины сторон и значения помогут вам получить корректные результаты.