Чтобы определить радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, нам нужно воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности:

где R - радиус окружности, вписанной в треугольник, S - площадь треугольника, а p - полупериметр треугольника.

Давайте поэтапно решим задачу:

1. Найдем стороны треугольника. Для этого воспользуемся данными о синусах углов A и C. Мы знаем, что:
• sin A = 12/13
• sin C = 4/5
2. Найдем синус угла B. В треугольнике сумма углов равна 180 градусам:
• B = 180 - A - C

Используем формулу синуса:

• sin B = sin(180 - A - C) = sin(A + C) = sin A * cos C + cos A * sin C
3. Найдем косинусы углов A и C:
• cos A = sqrt(1 - sin^2 A) = sqrt(1 - (12/13)^2) = sqrt(1 - 144/169) = sqrt(25/169) = 5/13
• cos C = sqrt(1 - sin^2 C) = sqrt(1 - (4/5)^2) = sqrt(1 - 16/25) = sqrt(9/25) = 3/5
4. Теперь можем найти sin B:
• sin B = (12/13) * (3/5) + (5/13) * (4/5) = 36/65 + 20/65 = 56/65
5. Теперь найдем площадь треугольника S. Площадь треугольника можно найти по формуле:
• S = 1/2 * основание * высота

В нашем случае основание - это сторона AC, а высота - это BH, равная 12:

Но сначала найдем сторону AC через синусы:

• AC = BH / sin B = 12 / (56/65) = 12 * (65/56) = 15
6. Теперь можем найти площадь:
• S = 1/2 * AC * BH = 1/2 * 15 * 12 = 90
7. Теперь найдем полупериметр p: Полупериметр - это половина суммы всех сторон треугольника. Сначала найдем стороны AB и BC:
• AB = BH / sin A = 12 / (12/13) = 13
• BC = BH / sin C = 12 / (4/5) = 15

Теперь можем найти полупериметр:

• p = (AB + BC + AC) / 2 = (13 + 15 + 15) / 2 = 21.5
8. Теперь можем найти радиус R:
• R = S / p = 90 / 21.5 ≈ 4.19

Таким образом, радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, составляет примерно 4.19.