Как можно решить задачи, связанные с соотношениями сторон и углов треугольника, а также с скалярным произведением векторов?

1. В треугольнике ABC <A = 45˚, <B = 60˚, BC = 32. Найдите AC.
2. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120˚. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
3. Вычислите косинус угла между векторами n и m, если m = {3; -4}, n = {15; 8}.

Геометрия 9 класс Соотношения между сторонами и углами треугольника треугольник соотношения сторон углы треугольника скалярное произведение задачи по геометрии вычисление сторон площадь треугольника косинус угла векторы геометрические задачи Новый

Давайте разберем каждую из задач по порядку.

Первая задача: В треугольнике ABC угол A равен 45˚, угол B равен 60˚, а сторона BC равна 32 см. Нам нужно найти сторону AC.

1. Сначала найдем угол C. Угол C можно вычислить по формуле: C = 180˚ - A - B.
2. Подставляем значения: C = 180˚ - 45˚ - 60˚ = 75˚.
3. Теперь применим закон синусов, который гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла в любом треугольнике одинаково:
• AC / sin(B) = BC / sin(A)
4. Подставим известные значения:
• AC / sin(60˚) = 32 / sin(45˚)
5. Теперь вычислим синусы углов:
• sin(60˚) = √3 / 2
• sin(45˚) = √2 / 2
6. Подставим их в уравнение:
• AC / (√3 / 2) = 32 / (√2 / 2)
7. Упростим уравнение:
• AC = 32 * (√3 / 2) / (√2 / 2) = 32 * (√3 / √2) = 32√6 / 3

Таким образом, сторона AC равна 32√6 / 3 см.

Вторая задача: Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120˚. Найдем третью сторону и площадь треугольника.

1. Для нахождения третьей стороны воспользуемся теоремой косинусов:
• c² = a² + b² - 2ab * cos(C)
2. Где a = 7 см, b = 8 см, C = 120˚. Сначала вычислим cos(120˚): cos(120˚) = -1/2.
3. Теперь подставим значения в формулу:
• c² = 7² + 8² - 2 * 7 * 8 * (-1/2)
• c² = 49 + 64 + 56 = 169
• c = √169 = 13 см.
4. Теперь найдем площадь треугольника по формуле: Площадь = (1/2) * a * b * sin(C).
5. Сначала вычислим sin(120˚): sin(120˚) = √3 / 2.
6. Подставляем в формулу:
• Площадь = (1/2) * 7 * 8 * (√3 / 2) = 28√3 / 4 = 7√3 см².

Таким образом, третья сторона треугольника равна 13 см, а его площадь равна 7√3 см².

Третья задача: Вычислим косинус угла между векторами m = {3; -4} и n = {15; 8}.

1. Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:
• cos(θ) = (m * n) / (|m| * |n|),
2. Сначала найдем скалярное произведение векторов m и n:
• m * n = 3 * 15 + (-4) * 8 = 45 - 32 = 13.
3. Теперь найдем длины векторов:
• |m| = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
• |n| = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17.
4. Теперь подставим все значения в формулу:
• cos(θ) = 13 / (5 * 17) = 13 / 85.

Таким образом, косинус угла между векторами m и n равен 13 / 85.