Давайте разберем каждую из задач по порядку.

Первая задача: В треугольнике ABC угол A равен 45˚, угол B равен 60˚, а сторона BC равна 32 см. Нам нужно найти сторону AC.

1. Сначала найдем угол C. Угол C можно вычислить по формуле: C = 180˚ - A - B.
2. Подставляем значения: C = 180˚ - 45˚ - 60˚ = 75˚.
3. Теперь применим закон синусов, который гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла в любом треугольнике одинаково:
• AC / sin(B) = BC / sin(A)
4. Подставим известные значения:
• AC / sin(60˚) = 32 / sin(45˚)
5. Теперь вычислим синусы углов:
• sin(60˚) = √3 / 2
• sin(45˚) = √2 / 2
6. Подставим их в уравнение:
• AC / (√3 / 2) = 32 / (√2 / 2)
7. Упростим уравнение:
• AC = 32 * (√3 / 2) / (√2 / 2) = 32 * (√3 / √2) = 32√6 / 3

Таким образом, сторона AC равна 32√6 / 3 см.

Вторая задача: Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120˚. Найдем третью сторону и площадь треугольника.

1. Для нахождения третьей стороны воспользуемся теоремой косинусов:
• c² = a² + b² - 2ab * cos(C)
2. Где a = 7 см, b = 8 см, C = 120˚. Сначала вычислим cos(120˚): cos(120˚) = -1/2.
3. Теперь подставим значения в формулу:
• c² = 7² + 8² - 2 * 7 * 8 * (-1/2)
• c² = 49 + 64 + 56 = 169
• c = √169 = 13 см.
4. Теперь найдем площадь треугольника по формуле: Площадь = (1/2) * a * b * sin(C).
5. Сначала вычислим sin(120˚): sin(120˚) = √3 / 2.
6. Подставляем в формулу:
• Площадь = (1/2) * 7 * 8 * (√3 / 2) = 28√3 / 4 = 7√3 см².

Таким образом, третья сторона треугольника равна 13 см, а его площадь равна 7√3 см².

Третья задача: Вычислим косинус угла между векторами m = {3; -4} и n = {15; 8}.

1. Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:
• cos(θ) = (m * n) / (|m| * |n|),
2. Сначала найдем скалярное произведение векторов m и n:
• m * n = 3 * 15 + (-4) * 8 = 45 - 32 = 13.
3. Теперь найдем длины векторов:
• |m| = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
• |n| = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17.
4. Теперь подставим все значения в формулу:
• cos(θ) = 13 / (5 * 17) = 13 / 85.

Таким образом, косинус угла между векторами m и n равен 13 / 85.