Для решения данной задачи нам нужно выразить векторы AP, AE, DP, BE и PE через векторы m = AB и n = AD. Начнем с того, что у нас есть параллелограмм ANCD, и мы знаем, что точки P и E расположены на сторонах BC и DC соответственно.

1. **Определим векторы м и n:**

• Вектор m = AB.
• Вектор n = AD.

2. **Расположение точки P:**

Поскольку BP = PC, точка P делит отрезок BC пополам. Это значит, что P является серединой отрезка BC. Если обозначить точку B как B и точку C как C, то вектор BP можно выразить как:

• BP = 0.5 * BC.

Так как BC = AC - AB, и вектор AC равен вектору n (так как это сторона параллелограмма), то:

• BC = n - m.
• BP = 0.5 * (n - m).

Следовательно, вектор AP можно выразить как:

• AP = AB + BP = m + 0.5 * (n - m) = 0.5 * m + 0.5 * n.

3. **Расположение точки E:**

Теперь рассмотрим точку E. Условие DE:EC = 1:2 говорит о том, что точка E делит отрезок DC в отношении 1:2. Это значит, что:

• DE = 1/3 * DC,
• EC = 2/3 * DC.

Поскольку DC = n, то:

• DE = (1/3) * n.

Таким образом, вектор AE можно выразить как:

• AE = AD + DE = n + (1/3) * n = (4/3) * n.

4. **Вектор DP:**

Вектор DP можно выразить через вектор DA и вектор AP. Так как D является началом вектора AD, то:

• DP = DA + AP = n + (0.5 * m + 0.5 * n) = 0.5 * m + 1.5 * n.

5. **Вектор BE:**

Вектор BE можно выразить как разность векторов B и E. Если E = D + DE, то:

• BE = E - B = (D + DE) - B = n + (1/3) * n - m = (4/3) * n - m.

6. **Вектор PE:**

Вектор PE можно выразить как разность векторов P и E. Мы знаем, что:

• PE = E - P = ((4/3) * n) - (0.5 * m + 0.5 * n) = (4/3) * n - 0.5 * m - 0.5 * n = (4/3 - 0.5) * n - 0.5 * m = (5/6) * n - 0.5 * m.

Таким образом, мы выразили все необходимые векторы через векторы m и n:

• AP = 0.5 * m + 0.5 * n,
• AE = (4/3) * n,
• DP = 0.5 * m + 1.5 * n,
• BE = (4/3) * n - m,
• PE = (5/6) * n - 0.5 * m.