Как на прямой x - y - 6 = 0 найти такие точки, расстояние от которых до центра окружности x² - 6x + y² + 8y + 10 = 0 равно расстоянию между центром этой окружности и началом координат?

Геометрия 9 класс Расстояние между точками и окружностью прямая x - y - 6 = 0 точки на прямой расстояние до центра окружности окружность x² - 6x + y² + 8y + 10 = 0 центр окружности начало координат геометрия 9 класс Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с окружностью и её центром.

Уравнение окружности задано в общем виде:

x² - 6x + y² + 8y + 10 = 0.

Для того чтобы найти центр окружности, нам нужно привести это уравнение к каноническому виду. Для этого мы сгруппируем x и y:

• x² - 6x + y² + 8y = -10.

Теперь мы будем завершать квадрат для x и y:

• Для x: x² - 6x. Чтобы завершить квадрат, берем -6, делим на 2 и возводим в квадрат: (-6/2)² = 9. Добавляем и вычитаем 9:
• x² - 6x + 9 - 9.
• Получаем (x - 3)² - 9.
• Для y: y² + 8y. Аналогично: (8/2)² = 16. Добавляем и вычитаем 16:
• y² + 8y + 16 - 16.
• Получаем (y + 4)² - 16.

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение окружности:

• (x - 3)² - 9 + (y + 4)² - 16 = -10.
• (x - 3)² + (y + 4)² - 25 = -10.
• (x - 3)² + (y + 4)² = 15.

Теперь мы видим, что центр окружности находится в точке (3, -4), а радиус равен √15.

Теперь найдем расстояние от центра окружности до начала координат (0, 0):

• Расстояние R = √((3 - 0)² + (-4 - 0)²) = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Теперь мы знаем, что расстояние от точки на прямой x - y - 6 = 0 до центра окружности (3, -4) должно быть равно 5.

Теперь найдем уравнение прямой в более удобной форме. Преобразуем уравнение x - y - 6 = 0:

• y = x - 6.

Теперь подставим y в формулу расстояния от точки (x, y) до центра окружности (3, -4):

Расстояние D = √((x - 3)² + (y + 4)²).

Подставим y = x - 6:

• D = √((x - 3)² + ((x - 6) + 4)²) = √((x - 3)² + (x - 2)²).

Теперь упростим выражение:

• D = √((x - 3)² + (x - 2)²) = √((x² - 6x + 9) + (x² - 4x + 4)) = √(2x² - 10x + 13).

Теперь мы знаем, что это расстояние должно быть равно 5:

• √(2x² - 10x + 13) = 5.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

• 2x² - 10x + 13 = 25.

Переносим 25 влево:

• 2x² - 10x + 13 - 25 = 0.
• 2x² - 10x - 12 = 0.

Теперь делим уравнение на 2:

• x² - 5x - 6 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49.

Теперь находим корни:

• x1 = (5 + √49) / 2 = (5 + 7) / 2 = 6.
• x2 = (5 - √49) / 2 = (5 - 7) / 2 = -1.

Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение прямой y = x - 6:

• Для x1 = 6: y1 = 6 - 6 = 0. Точка (6, 0).
• Для x2 = -1: y2 = -1 - 6 = -7. Точка (-1, -7).

Таким образом, искомые точки на прямой x - y - 6 = 0, расстояние от которых до центра окружности равно расстоянию между центром окружности и началом координат, это:

• (6, 0)
• (-1, -7)