Для решения данной задачи нам нужно использовать свойства равнобочной трапеции и некоторые элементы тригонометрии. Давайте разберем решение по шагам.

• У нас есть равнобочная трапеция, в которой диагональ перпендикулярна боковой стороне.
• Длина диагонали составляет 3√5 см.
• Проекция боковой стороны на большую основу равна 4 см.

Обозначим:

• A и B - концы большей базы (основания) трапеции;
• C и D - концы меньшей базы;
• AD - боковая сторона, которая перпендикулярна диагонали AC.
• Проекция боковой стороны AD на большую основу AB равна 4 см.

Поскольку диагональ AC перпендикулярна боковой стороне AD, мы можем использовать прямоугольный треугольник ACD для анализа. В этом треугольнике:

• AC = 3√5 см (диагональ);
• AD - боковая сторона;
• Проекция AD на AB равна 4 см.

В треугольнике ACD по теореме Пифагора можем записать:

AD^2 + (проекция AD)^2 = AC^2

Подставим известные значения:

AD^2 + 4^2 = (3√5)^2

AD^2 + 16 = 45

AD^2 = 45 - 16

AD^2 = 29

AD = √29 см.

Теперь, чтобы найти основания трапеции, нужно использовать свойства равнобочной трапеции. Поскольку проекция боковой стороны на большую основу равна 4 см, мы можем считать, что:

• Большая основа AB = x + 4, где x - длина меньшей основы CD.
• Так как трапеция равнобочная, и проекции боковых сторон равны, то разница между основаниями будет равна 8 см (2*4 см).

Таким образом, можно записать:

AB - CD = 8 см.

Если обозначить большую основу как x + 4, а меньшую как x, то мы можем записать:

(x + 4) - x = 8, что дает нам x = 4.

Таким образом:

• Большая основа AB = 4 + 4 = 8 см;
• Меньшая основа CD = 4 см.

Основания равнобочной трапеции равны 8 см и 4 см, а боковая сторона равна √29 см.