Какова апофема правильной четырехугольной пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов, а площадь основания составляет 16 см²?

Геометрия 9 класс Тематика: Правильные пирамиды апофема правильной четырехугольной пирамиды боковая грань наклоненный угол площадь основания геометрия задачи по геометрии Новый

Чтобы найти апофему правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно сначала разобраться с некоторыми параметрами этой фигуры.

Шаг 1: Определим высоту основания.

Поскольку основание пирамиды является квадратом (так как это правильная четырехугольная пирамида), мы можем найти длину стороны квадрата. Площадь квадрата (S) равна стороне в квадрате (a²), то есть:

S = a².

Из условия задачи мы знаем, что площадь основания составляет 16 см². Таким образом:

• a² = 16
• a = √16 = 4 см.

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

Сначала мы определим высоту боковой грани (h) по отношению к плоскости основания. Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60 градусам. Это значит, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.

В правильной четырехугольной пирамиде высота (h) и апофема (l) образуют прямоугольный треугольник с половиной стороны основания (a/2) и углом 60 градусов. По определению косинуса:

• cos(60°) = (a/2) / l.

Зная, что cos(60°) = 0.5, мы можем записать:

• 0.5 = (4/2) / l,
• 0.5 = 2 / l.

Отсюда мы можем выразить апофему:

• l = 2 / 0.5 = 4 см.

Шаг 3: Проверим высоту пирамиды.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя синус угла наклона:

• sin(60°) = h / l.

Зная, что sin(60°) = √3/2, мы можем записать:

• √3/2 = h / 4.

Отсюда:

• h = 4 * √3/2 = 2√3 см.

Ответ: Таким образом, апофема правильной четырехугольной пирамиды составляет 4 см.