Чтобы решить задачу, давайте обозначим сторону нижнего основания как a, а сторону верхнего основания как b. Из условия задачи мы знаем, что:

• Сторона верхнего основания b в соотношении 2:3 к стороне нижнего основания a, что можно записать как: b = (2/3) * a.
• Площадь полной поверхности усеченной пирамиды составляет 92 см².
• Апофема усеченной пирамиды в 3 раза меньше стороны большего основания, то есть: h = (1/3) * a, где h - апофема.

Теперь давайте рассмотрим формулу для площади полной поверхности усеченной пирамиды. Она включает в себя площадь двух оснований и площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности S = S1 + S2 + Sб, где:

• S1 - площадь нижнего основания (квадрат): S1 = a²,
• S2 - площадь верхнего основания (квадрат): S2 = b² = (2/3)² * a² = (4/9) * a²,
• Sб - площадь боковой поверхности. Для усеченной пирамиды эта площадь рассчитывается по формуле: Sб = (P1 + P2) * h / 2, где P1 и P2 - периметры оснований.

Периметр нижнего основания P1 = 4a, периметр верхнего основания P2 = 4b = 4 * (2/3) * a = (8/3) * a.

Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:

• Sб = ((4a + (8/3)a) * (1/3)a) / 2 = ((12/3)a * (1/3)a) / 2 = (4/3) * a² / 2 = (2/3) * a².

Теперь подставим все найденные площади в формулу для полной поверхности:

S = S1 + S2 + Sб = a² + (4/9)a² + (2/3)a².

Приведем все к общему знаменателю:

• 1 = 9/9,
• (2/3) = (6/9),
• S = (9/9)a² + (4/9)a² + (6/9)a² = (19/9)a².

Итак, у нас есть уравнение:

(19/9)a² = 92.

Решим это уравнение:

• Умножим обе стороны на 9: 19a² = 828.
• Теперь разделим на 19: a² = 828 / 19 = 43.5263.
• Теперь найдем a: a = √43.5263 ≈ 6.6 см.

Теперь, зная сторону нижнего основания a, найдем сторону верхнего основания b:

• b = (2/3) * a = (2/3) * 6.6 ≈ 4.4 см.

Таким образом, длины сторон оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют:

• Сторона нижнего основания: a ≈ 6.6 см,
• Сторона верхнего основания: b ≈ 4.4 см.