Какова длина сторон оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если сторона верхнего основания в соотношении 2:3 к стороне нижнего основания, площадь полной поверхности пирамиды составляет 92 см^2, а апофема усеченной пирамиды в 3 раза меньше стороны большего основания?

Геометрия 9 класс Правильные усеченные пирамиды длина сторон оснований правильная четырехугольная усеченная пирамида площадь полной поверхности апофема усеченной пирамиды соотношение сторон основания Новый

Чтобы решить задачу, давайте обозначим сторону нижнего основания как a, а сторону верхнего основания как b. Из условия задачи мы знаем, что:

• Сторона верхнего основания b в соотношении 2:3 к стороне нижнего основания a, что можно записать как: b = (2/3) * a.
• Площадь полной поверхности усеченной пирамиды составляет 92 см².
• Апофема усеченной пирамиды в 3 раза меньше стороны большего основания, то есть: h = (1/3) * a, где h - апофема.

Теперь давайте рассмотрим формулу для площади полной поверхности усеченной пирамиды. Она включает в себя площадь двух оснований и площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности S = S1 + S2 + Sб, где:

• S1 - площадь нижнего основания (квадрат): S1 = a²,
• S2 - площадь верхнего основания (квадрат): S2 = b² = (2/3)² * a² = (4/9) * a²,
• Sб - площадь боковой поверхности. Для усеченной пирамиды эта площадь рассчитывается по формуле: Sб = (P1 + P2) * h / 2, где P1 и P2 - периметры оснований.

Периметр нижнего основания P1 = 4a, периметр верхнего основания P2 = 4b = 4 * (2/3) * a = (8/3) * a.

Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:

• Sб = ((4a + (8/3)a) * (1/3)a) / 2 = ((12/3)a * (1/3)a) / 2 = (4/3) * a² / 2 = (2/3) * a².

Теперь подставим все найденные площади в формулу для полной поверхности:

S = S1 + S2 + Sб = a² + (4/9)a² + (2/3)a².

Приведем все к общему знаменателю:

• 1 = 9/9,
• (2/3) = (6/9),
• S = (9/9)a² + (4/9)a² + (6/9)a² = (19/9)a².

Итак, у нас есть уравнение:

(19/9)a² = 92.

Решим это уравнение:

• Умножим обе стороны на 9: 19a² = 828.
• Теперь разделим на 19: a² = 828 / 19 = 43.5263.
• Теперь найдем a: a = √43.5263 ≈ 6.6 см.

Теперь, зная сторону нижнего основания a, найдем сторону верхнего основания b:

• b = (2/3) * a = (2/3) * 6.6 ≈ 4.4 см.

Таким образом, длины сторон оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют:

• Сторона нижнего основания: a ≈ 6.6 см,
• Сторона верхнего основания: b ≈ 4.4 см.