Какова длина стороны AC треугольника ABC, если расстояние между точками касания со вписанной и соответствующей вневписанной окружностью на стороне BC равно 2, а на стороне AC равно 3, при условии, что BC равно 10?

Геометрия 9 класс Вписанная и вневписанная окружности треугольника длина стороны AC треугольник ABC расстояние между точками касания вписанная окружность вневписанная окружность сторона BC геометрия 9 класс задачи по геометрии свойства треугольников окружности в треугольнике Новый

Для решения данной задачи нам нужно использовать свойства вписанной и вневписанной окружностей треугольника.

Обозначим:

• a = BC = 10 (длина стороны BC)
• b = AC (длина стороны AC, которую мы ищем)
• c = AB (длина стороны AB)

Согласно условию задачи, расстояние между точками касания со вписанной и соответствующей вневписанной окружностью на стороне BC равно 2, а на стороне AC равно 3. Эти расстояния можно обозначить следующим образом:

• d1 (расстояние на стороне BC) = 2
• d2 (расстояние на стороне AC) = 3

Теперь давайте вспомним, что для стороны BC справедливо следующее равенство:

d1 = r + r_a,

где r - радиус вписанной окружности, а r_a - радиус вневписанной окружности, соответствующей стороне BC.

А для стороны AC:

d2 = r + r_b,

где r_b - радиус вневписанной окружности, соответствующей стороне AC.

Теперь мы можем записать систему уравнений:

1. r + r_a = 2
2. r + r_b = 3

Из первого уравнения выразим r_a:

r_a = 2 - r.

Из второго уравнения выразим r_b:

r_b = 3 - r.

Теперь, согласно формуле для радиусов вневписанных окружностей, мы знаем, что:

• r_a = (S / (s - a)),
• r_b = (S / (s - b)),

где S - площадь треугольника, s - полупериметр треугольника, s = (a + b + c) / 2.

Подставляя выражения для r_a и r_b в уравнения, получаем:

1. S / (s - a) = 2 - r
2. S / (s - b) = 3 - r

Теперь мы можем выразить S через b и c, используя формулу Герона:

S = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)).

Однако, чтобы упростить задачу, мы можем воспользоваться соотношениями между сторонами и расстояниями. Мы знаем, что:

BC = a = 10, d1 + d2 = 5 (так как d1 = 2 и d2 = 3), и следовательно, b + c = 5.

Теперь, зная, что a = 10 и b + c = 5, мы можем выразить b через c или наоборот. Например, пусть b = 5 - c.

Мы можем подставить это значение в одно из уравнений и решить его. Однако, чтобы сделать это проще, давайте воспользуемся свойством треугольников:

Сумма расстояний от точки касания до концов стороны равна длине стороны:

AC = b = d2 + (a - d1) = 3 + (10 - 2) = 3 + 8 = 11.

Таким образом, длина стороны AC треугольника ABC равна:

11.