Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, образованного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, нам нужно выполнить несколько шагов.

Давайте начнем с того, что у нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где катеты AB и AC равны. Один из катетов, например, AB, имеет длину 6. Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, то длина другого катета (AC) также равна 6.

Теперь найдем гипотенузу (BC) этого треугольника, используя теорему Пифагора:

1. Гипотенуза (BC) = √(AB² + AC²) = √(6² + 6²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2.

Теперь, когда мы знаем размеры треугольника, можем перейти к расчету площади полной поверхности конуса. Площадь полной поверхности конуса состоит из двух частей: площади основания и площади боковой поверхности.

1. **Площадь основания конуса**:

• Основание конуса является кругом с радиусом, равным длине одного из катетов. В нашем случае радиус r = 6.
• Площадь основания (S1) = π * r² = π * 6² = 36π.

2. **Площадь боковой поверхности конуса**:

• Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно знать образующую конуса (l),которая равна длине гипотенузы треугольника.
• Как мы уже нашли, l = 6√2.
• Площадь боковой поверхности (S2) = π * r * l = π * 6 * 6√2 = 36√2π.

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности конуса (S):

1. S = S1 + S2 = 36π + 36√2π = 36(1 + √2)π.

Таким образом, площадь полной поверхности конуса, образованного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета длиной 6, равна 36(1 + √2)π.