Каково соотношение между радиусами окружностей, описанной и вписанной около прямоугольного треугольника с катетами a и b, если известно, что 2R + 2r = a + b?

Геометрия 9 класс Соотношение радиусов окружностей описанной и вписанной около треугольника радиусы окружностей описанная окружность вписанная окружность прямоугольный треугольник соотношение радиусов катеты A и B формула радиусов Новый

Для решения задачи нам нужно вспомнить формулы для радиусов описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника.

1. Радиус описанной окружности (R):

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

R = c / 2,

где c — гипотенуза треугольника. По теореме Пифагора гипотенуза c равна √(a² + b²), где a и b — катеты треугольника. Таким образом, получаем:

R = √(a² + b²) / 2.

2. Радиус вписанной окружности (r):

Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

r = (a + b - c) / 2.

Подставим значение c:

r = (a + b - √(a² + b²)) / 2.

3. Теперь подставим радиусы в данное уравнение:

У нас есть уравнение:

2R + 2r = a + b.

Подставим значения R и r:

1. 2R = 2 * (√(a² + b²) / 2) = √(a² + b²);
2. 2r = 2 * ((a + b - √(a² + b²)) / 2) = a + b - √(a² + b²).

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

√(a² + b²) + (a + b - √(a² + b²)) = a + b.

Сложим и упростим:

√(a² + b²) + a + b - √(a² + b²) = a + b.

Мы видим, что у нас уходит √(a² + b²), и уравнение верно.

4. Соотношение между радиусами:

Теперь мы можем выразить соотношение между R и r:

R = √(a² + b²) / 2, r = (a + b - √(a² + b²)) / 2.

Таким образом, мы можем записать соотношение между радиусами:

R = r + (√(a² + b²) - (a + b)) / 2.

Это показывает, что радиусы окружностей описанной и вписанной связаны через катеты a и b и гипотенузу c. В общем, соотношение между радиусами описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника можно выразить через их формулы, как показано выше.