Чтобы найти координаты четвёртой вершины ромба, давайте сначала вспомним, что в ромбе все стороны равны, а также диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

Итак, у нас есть три вершины ромба: A(1,2), B(3,7) и C(5,2). Обозначим четвёртую вершину как D(x, y).

Шаг 1: Найдем длины сторон, чтобы определить, какие из данных вершин являются соседними. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

Расстояние = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Теперь найдем длины отрезков AB, BC и AC:

• AB = √((3 - 1)² + (7 - 2)²) = √(2² + 5²) = √(4 + 25) = √29
• BC = √((5 - 3)² + (2 - 7)²) = √(2² + (-5)²) = √(4 + 25) = √29
• AC = √((5 - 1)² + (2 - 2)²) = √(4² + 0²) = √16 = 4

Мы видим, что AB = BC, значит, A и C - это не соседние вершины, а скорее, они находятся на диагонали. Теперь мы можем использовать координаты этих точек для нахождения координат D.

Шаг 2: Найдем середину отрезка AC, так как D будет находиться на линии, проходящей через эту середину и перпендикулярной к AC.

Середина M отрезка AC находится по формуле:

M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

M = ((1 + 5)/2, (2 + 2)/2) = (3, 2)

Шаг 3: Теперь найдем наклон линии AC:

Наклон = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - 2) / (5 - 1) = 0

Так как наклон равен 0, линия AC горизонтальная. Следовательно, перпендикуляр к этой линии будет вертикальным, и координаты D будут иметь ту же x-координату, что и M, то есть 3.

Шаг 4: Теперь мы можем найти y-координату D. Поскольку D находится на равном расстоянии от M и B, мы можем использовать длину AB (или BC), чтобы найти y-координату D:

Расстояние от M до D должно быть равно расстоянию от B до M. Поскольку B(3,7) и M(3,2), разница по y-координате равна 5. Следовательно, D будет находиться на 5 единиц ниже M:

y = 2 - 5 = -3

Итак, координаты четвёртой вершины D равны (3, -3).

Ответ: Координаты четвёртой вершины ромба: (3, -3).