№1. Выпишите верные (верное) утверждения (утверждение) из представленных:

• Площадь параллелограмма равна произведению смежных его сторон. Неверно. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию.
• Площадь ромба равна произведению высоты ромба на его сторону. Неверно. Площадь ромба равна произведению диагоналей, делённому на 2, или также можно использовать основание (сторону) и высоту.
• Если численные значения площади и периметра произвольного четырёхугольника совпадают, то такой четырёхугольник квадрат. Неверно. Это утверждение не всегда верно, так как могут быть другие четырёхугольники с такими же значениями площади и периметра.
• Площадь любого треугольника в два раза меньше произведения его сторон. Неверно. Площадь треугольника рассчитывается по формуле: 1/2 * основание * высота.

№2. Средняя линия треугольника равна 4 см. Найдите площадь треугольника, если высота треугольника, перпендикулярная данной средней линии, в два раза больше.

Средняя линия треугольника делит его на два меньших треугольника, и ее длина равна половине основания. В данном случае, средняя линия равна 4 см, значит основание треугольника, к которому относится эта средняя линия, будет равно 8 см.

Высота треугольника, перпендикулярная средней линии, в два раза больше средней линии. Значит, высота равна 4 см * 2 = 8 см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника по формуле:

Площадь = 1/2 * основание * высота = 1/2 * 8 см * 8 см = 32 см².

№3. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 4:3. Найдите площадь данного треугольника, если его периметр равен 24 см.

Обозначим катеты как 4x и 3x. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

4x + 3x + гипотенуза = 24 см.

Гипотенуза по теореме Пифагора будет равна:

гипотенуза = √((4x)² + (3x)²) = √(16x² + 9x²) = √(25x²) = 5x.

Теперь подставим это в уравнение периметра:

4x + 3x + 5x = 24 см,

12x = 24 см,

x = 2 см.

Теперь найдем катеты:

4x = 4*2 = 8 см,

3x = 3*2 = 6 см.

Теперь можем найти площадь:

Площадь = 1/2 * 8 см * 6 см = 24 см².

№4. Найдите высоту, проведённую к меньшей стороне параллелограмма, если его площадь 32 см, высота, проведённая к большей стороне параллелограмма, равна 8 см и периметр равен 48 см.

Сначала найдем стороны параллелограмма. Обозначим стороны как a и b. Площадь параллелограмма равна основанию (одной из сторон) умноженному на соответствующую высоту:

Площадь = a * h1, где h1 – высота к стороне a.

Пусть h2 – высота к стороне b. Тогда:

32 см = b * 8 см,

b = 32 см / 8 см = 4 см.

Теперь подставим значение в периметр:

Периметр = 2(a + b) = 48 см.

2(a + 4 см) = 48 см,

a + 4 см = 24 см,

a = 20 см.

Теперь можем найти высоту h2:

Площадь = b * h2,

32 см = 4 см * h2,

h2 = 32 см / 4 см = 8 см.

№5. В равнобедренной трапеции сумма оснований равна 16 см. Найдите её площадь, если диагонали трапеции составляют угол 90 градусов.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле:

Площадь = 1/2 * (a + b) * h,

где a и b – основания, h – высота.

Сумма оснований a + b = 16 см. Если диагонали образуют угол 90 градусов, то высота равна длине меньшего основания.

Предположим, что a = x см и b = 16 см - x см. Тогда высота будет равна (16 см - x см) / 2.

Теперь подставим значения в формулу площади:

Площадь = 1/2 * 16 см * h = 8 см * h.

Так как высота равна 8 см (при равенстве оснований), то:

Площадь = 8 см * 8 см = 64 см².