Касательная к окружности — это прямая, которая касается окружности в одной точке. Это свойство имеет несколько важных характеристик, которые мы сейчас рассмотрим.

• Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
• Если из точки, находящейся вне окружности, проведены две касательные к этой окружности, то отрезки касательных, проведенные из этой точки, равны.
• Касательная к окружности не пересекает ее, она касается окружности только в одной точке.

Теперь давайте докажем первое свойство: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

1. Обозначим окружность с центром O и радиусом R.
2. Пусть A — точка касания касательной к окружности.
3. Проведем радиус OA, который соединяет центр окружности O с точкой касания A.
4. Обозначим касательную линию как линию l, которая касается окружности в точке A.
5. Предположим, что касательная не перпендикулярна радиусу OA. Это значит, что существует угол между радиусом OA и касательной l.
6. Если мы проведем любую другую прямую, проходящую через O и не являющуюся радиусом (например, OB),то эта прямая будет пересекать окружность в двух точках, что противоречит определению касательной, которая касается окружности в одной точке.
7. Таким образом, мы приходим к выводу, что угол между радиусом OA и касательной l должен равняться 90 градусам.

Следовательно, мы доказали, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это свойство является основополагающим для работы с касательными и окружностями в геометрии.