Чтобы найти котангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды PTRS, нам нужно выполнить несколько шагов.

• Высота пирамиды (h) = 9
• Сторона основания (a) = 12

В основании пирамиды находится правильный треугольник. Для правильного треугольника радиус описанной окружности (R) можно найти по формуле:

R = a / (sqrt(3))

Подставляем значение стороны:

• R = 12 / (sqrt(3)) = 4 * sqrt(3)

Боковое ребро (l) пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора. Боковое ребро является гипотенузой, а высота и радиус описанной окружности основания - катетами:

l = sqrt(h^2 + R^2)

Подставляем известные значения:

• l = sqrt(9^2 + (4 * sqrt(3))^2)
• l = sqrt(81 + 48) = sqrt(129)

Котангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания равен отношению основания к высоте:

cot(α) = основание / высота

В данном случае основанием будет радиус описанной окружности:

cot(α) = R / h = (4 * sqrt(3)) / 9

Котангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания равен (4 * sqrt(3)) / 9.