Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства углов, образуемых касательными к окружности. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Определим дуги: У нас есть окружность, и из внешней точки проведены две касательные, которые касаются окружности в точках A и B. Эти точки делят окружность на две дуги: меньшую и большую. По условию, соотношение длин этих дуг равно 4:15.
2. Найдем углы: Угол между касательными (обозначим его угол α) равен половине разности больших и меньших дуг. Если обозначить меньшую дугу как 4x, а большую как 15x, то мы можем записать:
   • Угол α = 1/2 * (угол большей дуги - угол меньшей дуги)
   • Угол α = 1/2 * (15x - 4x) = 1/2 * 11x = 5.5x
3. Найдем значение x: Длина всей окружности равна 2πR, где R - радиус окружности. В нашем случае, длина всей окружности равна 4x + 15x = 19x. Таким образом, мы можем выразить x через радиус окружности:
   • 19x = 2πR
   • x = 2πR / 19
4. Подставим значение x в угол α: Теперь мы можем выразить угол α в терминах радиуса окружности:
   • Угол α = 5.5 * (2πR / 19) = (11πR / 19)

Таким образом, угол между касательными, проведёнными из внешней точки к окружности, равен 5.5x, где x - это длина, соответствующая делению окружности на две дуги в соотношении 4:15. В зависимости от радиуса окружности, угол можно выразить в градусах или радианах.