Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник: Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис всех трех углов треугольника.

Доказательство:

1. Пусть ABC - треугольник, и D, E, F - точки касания окружности с сторонами BC, CA, AB соответственно.
2. Проведем биссектрисы углов A, B и C, которые пересекутся в точке I.
3. Покажем, что I является центром окружности, вписанной в треугольник.
4. Так как I лежит на биссектрисах, то расстояния от I до сторон треугольника равны: ID = IE = IF.
5. Это означает, что I равноудалён от всех сторон треугольника, что и определяет центр вписанной окружности.

Таким образом, точка I - центр окружности, вписанной в треугольник ABC.