Давайте разберем задачу по шагам.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Гипотенуза AB является стороной квадрата ABDK, который построен на этой гипотенузе. Центр квадрата обозначен точкой O.

Шаг 1: Доказательство, что CO является биссектрисой угла ACB.

• Поскольку ABC - прямоугольный треугольник, угол ACB равен 90 градусам.
• Квадрат ABDK имеет равные стороны, и его углы равны 90 градусам.
• Точки A и B являются концами гипотенузы, а D и K - вершинами квадрата, расположенными на перпендикулярах к AB.
• Поскольку O - центр квадрата, он равновелико удален от всех четырех вершин квадрата. Это означает, что AO = BO = DO = KO.
• Рассмотрим треугольники AOC и BOC. Поскольку AO = BO и угол AOB равен 90 градусам, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников).
• Следовательно, углы AOC и BOC равны, а значит, CO делит угол ACB пополам, что и доказывает, что CO является биссектрисой угла ACB.

Шаг 2: Нахождение длины CO.

Теперь давайте найдем длину отрезка CO. Мы знаем, что:

• BC = a
• AC = b

По теореме Пифагора, длина гипотенузы AB может быть найдена как:

AB = √(AC² + BC²) = √(b² + a²).

Теперь, чтобы найти CO, мы можем воспользоваться формулой для длины биссектрисы. Длина биссектрисы CO в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле:

CO = (AC * BC) / (AC + BC) = (b * a) / (b + a).

Таким образом, мы доказали, что CO является биссектрисой угла ACB и нашли его длину:

CO = (b * a) / (b + a).

Это завершает решение задачи.