Решение:

1. Так как радиус окружности равен 2, то сторона треугольника АВС равна сумме отрезков АЕ и ЕС: АС = АЕ + ЕС = 4 + 6 = 10.

2. Треугольники AEO и AKO равны по гипотенузе и катету (АО — общая сторона, ОЕ = ОК как радиусы), значит АЕ = АК = 4. Аналогично из равенства треугольников CEO и CLO следует, что СЕ = CL = 6.

3. Из равенства треугольников BKO и BLO следует, что ВК = BL = х. Тогда АВ = АК + КВ = 4 + х, а ВС = ВL + LC = х + 6.

4. Полупериметр треугольника АВС равен р = (АВ + ВС + АС) / 2 = (4 + x + x + 6 + 10) / 2 = 10 + x.

5. Площадь треугольника АВС можно найти двумя способами:

   • S = pr = 2 * (10 + х);
   • S = √(p (p – a) (p – b) (p – c)) = √((10 + x) (10 + x – 4 – x) (10 + x – x – 6) (10 + x – 10)).

Приравняем эти выражения и получим уравнение: 2 (10 + х) = √((10 + x)² 6 4 x).

6. Возведём обе части уравнения в квадрат и решим полученное квадратное уравнение относительно х:
   • 4(10 + х)² = (10 + x)² 6² 4²;
   • 400 + 80x + 16x² = 900 + 180x + 24x²;
   • -2x² + 100 = 0;
   • x² – 50 = 0;
   • (х – 5)(х + 10) = 0.

Отсюда х = 5 или х = -10 (не подходит по смыслу задачи).

7. Найдём стороны треугольника: АВ = 4 + 5 = 9, ВС = 5 + 6 = 11, АС = 10. Полупериметр р = (9 + 11 + 10)/2 = 15.

8. Вычислим площадь треугольника АВС: S = √15 (15 – 9) (15 – 11) (15 – 10) = √45 6 4 5 = √5 √3 2² 3 5 = 15√6 ≈ 25,5 кв. ед.

Ответ: площадь треугольника АВС примерно равна 25,5 квадратных единиц.

Примечание: в решении могут быть неточности, так как не указано, какие единицы измерения используются в задаче.