Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него другой конус с площадью основания 4π. Какой радиус основания исходного конуса, если эта плоскость делит объем конуса в отношении 1:7, считая от вершины?

Геометрия 9 класс Объем конуса и секущие плоскости плоскость основание конуса радиус объем конуса геометрия 9 класс отношение объемов отсеченный конус задача по геометрии Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Итак, у нас есть конус, который делится на два меньших конуса плоскостью, параллельной основанию. Площадь основания отсеченного конуса составляет 4π, а отношение объемов конусов равно 1:7.

Шаг 1: Определим объемы конусов.

Обозначим объем исходного конуса как V. Тогда объем отсеченного конуса будет равен V/8, так как объемы находятся в отношении 1:7 (1 часть от вершины и 7 частей от основания).

Шаг 2: Используем формулу объема конуса.

Формула объема конуса выглядит так:

V = (1/3) * π * R² * H,

где R — радиус основания, а H — высота конуса.

Шаг 3: Найдем объем отсеченного конуса.

Объем отсеченного конуса также можно выразить через его радиус и высоту. Обозначим радиус основания отсеченного конуса как r, а высоту как h. Тогда:

V/8 = (1/3) * π * r² * h.

Шаг 4: Установим соотношение радиусов и высот.

Так как конусы подобны (плоскость, отсекающая конус, параллельна основанию), то радиусы и высоты будут пропорциональны:

• r/R = h/H.

Шаг 5: Найдем площадь основания отсеченного конуса.

Площадь основания отсеченного конуса равна 4π, следовательно:

r² = 4.

Это означает, что r = 2.

Шаг 6: Выразим высоты через радиусы.

Теперь выразим h через H. Поскольку r/R = h/H, то h = (r/R) * H. Подставим значение r:

h = (2/R) * H.

Шаг 7: Подставим в уравнение объема.

Теперь подставим h в уравнение объема отсеченного конуса:

V/8 = (1/3) * π * (2)² * ((2/R) * H).

Упростим это уравнение:

V/8 = (1/3) * π * 4 * (2/R) * H.

V/8 = (8/3R) * π * H.

Шаг 8: Подставим V.

Теперь подставим V = (1/3) * π * R² * H:

(1/3) * π * R² * H / 8 = (8/3R) * π * H.

Шаг 9: Упростим уравнение и найдем R.

Убираем π и H (предполагая, что H не равно 0):

R² / 24 = 8 / 3R.

Умножим обе стороны на 24R:

R³ = 64.

Следовательно, R = 4.

Ответ:

Радиус основания исходного конуса равен 4.