При каком значении a точки A(3;2√3), B(a;0) и C(5;0) образуют вершины прямоугольного треугольника?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники и координатная геометрия значение a точки A B C вершины прямоугольного треугольника геометрия 9 класс Новый

Чтобы определить, при каком значении a точки A(3; 2√3), B(a; 0) и C(5; 0) образуют вершины прямоугольного треугольника, нам нужно воспользоваться свойством прямоугольного треугольника: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Для начала найдем длины сторон треугольника ABC. Обозначим:

• AB - длина отрезка между точками A и B;
• BC - длина отрезка между точками B и C;
• AC - длина отрезка между точками A и C.

Теперь вычислим эти длины:

1. Длина AB:

AB = √((a - 3)² + (0 - 2√3)²) = √((a - 3)² + (2√3)²) = √((a - 3)² + 12).

2. Длина BC:

BC = √((a - 5)² + (0 - 0)²) = |a - 5|.

3. Длина AC:

AC = √((5 - 3)² + (0 - 2√3)²) = √(2² + (2√3)²) = √(4 + 12) = √16 = 4.

Теперь у нас есть три длины: AB, BC и AC. Для того чтобы треугольник ABC был прямоугольным, должно выполняться одно из следующих равенств:

• AB² + BC² = AC²,
• AB² + AC² = BC²,
• BC² + AC² = AB².

Рассмотрим первое равенство:

AB² + BC² = AC².

Подставляем значения:

( (a - 3)² + 12 ) + (a - 5)² = 4².

Раскроем скобки:

(a - 3)² + 12 + (a - 5)² = 16.

(a² - 6a + 9) + 12 + (a² - 10a + 25) = 16.

2a² - 16a + 46 = 16.

2a² - 16a + 30 = 0.

Разделим все на 2:

a² - 8a + 15 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

a = (8 ± √4) / 2 = (8 ± 2) / 2.

Таким образом, получаем:

• a₁ = (8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5,
• a₂ = (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3.

Теперь проверим второе равенство:

AB² + AC² = BC².

( (a - 3)² + 12 ) + 16 = (a - 5)².

Но при подстановке значений a₁ = 5 и a₂ = 3, мы увидим, что это уравнение не выполняется.

Осталось проверить третье равенство:

BC² + AC² = AB².

(a - 5)² + 16 = ( (a - 3)² + 12 ).

Это уравнение также не даст новых решений.

Таким образом, точки A(3; 2√3), B(a; 0) и C(5; 0) образуют вершины прямоугольного треугольника при значениях:

• a = 5,
• a = 3.