Теорема о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой: Из любой точки, не лежащей на прямой, можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой.

Доказательство:

Рассмотрим прямую L и точку A, которая не лежит на этой прямой. Мы будем доказывать существование и единственность перпендикуляра, проведённого из точки A к прямой L.

1. Существование перпендикуляра:
   • Проведем произвольную прямую, проходящую через точку A и пересекающую прямую L в точке B.
   • Теперь рассмотрим угол между прямой AB и прямой L. Поскольку A не лежит на L, угол может быть различным.
   • Изменяя направление прямой AB, мы можем уменьшать угол между AB и L, пока не достигнем прямого угла (90 градусов).
   • Таким образом, мы можем провести прямую AP, которая будет перпендикулярна прямой L в точке P.
2. Единственность перпендикуляра:
   • Предположим, что из точки A можно провести два разных перпендикуляра к прямой L, пусть это будут прямые AP и AQ, которые пересекают L в точках P и Q соответственно.
   • Так как обе прямые AP и AQ образуют прямые углы с прямой L, то углы APB и AQB равны 90 градусам.
   • По свойству углов, если два угла равны и имеют общую сторону (в данном случае, сторону AB), то они являются равными углами.
   • Следовательно, точки P и Q должны совпадать, то есть P = Q.
   • Это опровергает предположение о том, что существуют два разных перпендикуляра из точки A к прямой L.

Таким образом, мы доказали, что из точки A, не лежащей на прямой L, можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой.