Шар и цилиндр имеют одинаковые объемы. При этом радиус шара составляет 3/5 от высоты цилиндра. Какое отношение радиусов шара и цилиндра?

Геометрия 9 класс Объемы геометрических тел шар и цилиндр одинаковые объемы радиус шара высота цилиндра отношение радиусов Новый

Для решения этой задачи начнем с формул объемов шара и цилиндра.

Объем шара V_шар вычисляется по формуле:

V_шар = (4/3) * π * r_шар³

Объем цилиндра V_цилиндр вычисляется по формуле:

V_цилиндр = π * r_цилиндр² * h

Согласно условию задачи, объемы шара и цилиндра равны:

V_шар = V_цилиндр

Подставим формулы объемов:

(4/3) * π * r_шар³ = π * r_цилиндр² * h

Теперь можно сократить π с обеих сторон уравнения:

(4/3) * r_шар³ = r_цилиндр² * h

Теперь, согласно условию, радиус шара составляет 3/5 от высоты цилиндра:

r_шар = (3/5) * h

Подставим это выражение в уравнение:

(4/3) * ((3/5) * h)³ = r_цилиндр² * h

Теперь вычислим (3/5) * h в кубе:

((3/5) * h)³ = (27/125) * h³

Подставим это значение в уравнение:

(4/3) * (27/125) * h³ = r_цилиндр² * h

Упростим левую часть:

(108/375) * h³ = r_цилиндр² * h

Теперь сократим h (при условии, что h не равно 0):

(108/375) * h² = r_цилиндр²

Теперь выразим r_цилиндр:

r_цилиндр = √((108/375) * h²)

Теперь найдем отношение радиусов:

Отношение радиусов r_шар и r_цилиндр:

(r_шар / r_цилиндр) = ((3/5) * h) / √((108/375) * h²)

Сократим h:

(r_шар / r_цилиндр) = (3/5) / √(108/375)

Теперь упростим √(108/375):

√(108/375) = √(108) / √(375)

Теперь подставим значения и упростим:

√(108) = 6√3 и √(375) = 5√15, тогда:

(r_шар / r_цилиндр) = (3/5) / (6√3 / 5√15)

После упрощения получаем:

r_шар / r_цилиндр = 3 / (6√3 / √15) = 3√15 / 6√3 = (√15 / 2√3) = √(15/12) = √(5/4)

Таким образом, отношение радиусов шара и цилиндра равно:

√(5/4) или √5 : 2.