Точка К находится на стороне ВС треугольника АВС. Как можно вычислить длину отрезка АК, если известны следующие данные: АB = 3 см, АC = 9 см, угол ZBAC равен 120°, а отношение отрезков CK и KB составляет 2 : 1?

Геометрия 9 класс Пропорциональные отрезки в треугольниках длина отрезка АК треугольник АВС угол ZBAC отношение отрезков CK и KB геометрия 9 класс Новый

Для нахождения длины отрезка АК в треугольнике ABC, где известны длины сторон AB и AC, угол ZBAC и отношение отрезков CK и KB, можно использовать закон косинусов и пропорции. Давайте разберем решение по шагам.

Шаг 1: Определим длину отрезка BC

• Сначала найдем длину стороны BC с помощью закона косинусов. Закон косинусов гласит:
• c² = a² + b² - 2ab * cos(γ),
• где c - искомая сторона, a и b - другие стороны, γ - угол между ними.

В нашем случае:

• AB = 3 см (a),
• AC = 9 см (b),
• угол ZBAC = 120° (γ).

Теперь подставим значения в формулу:

BC² = 3² + 9² - 2 * 3 * 9 * cos(120°).

Зная, что cos(120°) = -1/2, получаем:

BC² = 9 + 81 + 27 = 117.

Следовательно, BC = √117 см.

Шаг 2: Найдем длины отрезков CK и KB

• Пусть CK = 2x и KB = x. Тогда, по условию, CK + KB = BC.
• Суммируем отрезки: 2x + x = 3x = √117.
• Отсюда x = √117 / 3. Значит, CK = 2√117 / 3 и KB = √117 / 3.

Шаг 3: Найдем длину отрезка AK

• Теперь мы можем использовать теорему о пропорциях. В треугольнике ABC, отрезок AK относится к отрезкам CK и KB как длины сторон AB и AC:
• AK / CK = AB / AC.

Подставим известные значения:

AK / (2√117 / 3) = 3 / 9.

Упрощаем:

AK / (2√117 / 3) = 1 / 3.

Теперь выразим AK:

AK = (2√117 / 3) * (1 / 3) = 2√117 / 9.

Шаг 4: Подсчитаем значение AK

• Теперь мы можем вычислить значение AK, подставив значение √117.

В результате, мы нашли длину отрезка AK. Это и будет искомый ответ.