В кубе ABCDA, BCD, какой угол образуют прямые АС и DA?

Геометрия 9 класс Углы и их свойства в пространстве угол между прямыми куб ABCDA геометрия 9 класс прямые АС и DA свойства куба Новый

Чтобы найти угол между прямыми AC и DA в кубе ABCDA, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте начнем с определения координат вершин куба. Предположим, что куб имеет длину ребра a и его вершины расположены следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• E(0, 0, a)
• F(a, 0, a)
• G(a, a, a)
• H(0, a, a)

Теперь найдем координаты точек A, C и D:

• Точка A: (0, 0, 0)
• Точка C: (a, a, 0)
• Точка D: (0, a, 0)

Теперь определим векторы AC и DA:

• Вектор AC = C - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)
• Вектор DA = A - D = (0, 0, 0) - (0, a, 0) = (0, -a, 0)

Теперь мы можем найти угол между этими двумя векторами. Для этого используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(φ) = (A · B) / (|A| * |B|),

где A · B - скалярное произведение векторов, |A| и |B| - длины векторов.

Сначала найдем скалярное произведение векторов AC и DA:

• A · B = (a, a, 0) · (0, -a, 0) = a * 0 + a * (-a) + 0 * 0 = -a².

Теперь найдем длины векторов:

• |AC| = √(a² + a² + 0²) = √(2a²) = a√2,
• |DA| = √(0² + (-a)² + 0²) = √(a²) = a.

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:

cos(φ) = (-a²) / (a√2 * a) = -1/√2.

Теперь найдем угол φ:

φ = arccos(-1/√2) = 135°.

Таким образом, угол между прямыми AC и DA равен 135 градусам.