Для начала, давайте определим, что объем куба равен 27. Это означает, что длина ребра куба (a) равна 3, так как объем куба вычисляется по формуле V = a^3. Таким образом, a = 27^(1/3) = 3.

Теперь рассмотрим каждое из утверждений по отдельности:

• Расстояние от прямой AB1 до плоскости DD1C1C равно 3;

Прямая AB1 соединяет точку A (0, 0, 0) и точку B1 (3, 0, 3). Плоскость DD1C1C проходит через точки D (0, 3, 0),D1 (0, 3, 3),C1 (3, 3, 3) и C (3, 3, 0). Расстояние от прямой к плоскости можно вычислить, и оно действительно равно 3, так как прямая AB1 находится на высоте 0, а плоскость DD1C1C на высоте 3.

• Прямые BC и AB1 перпендикулярны;

Прямая BC соединяет точки B (3, 0, 0) и C (3, 3, 0),а прямая AB1 соединяет A и B1. Векторы, соответствующие этим прямым, можно вычислить, и они также окажутся перпендикулярными, так как их скалярное произведение равно 0.

• Угол B1AD равен 45°;

Чтобы найти угол B1AD, нужно рассмотреть векторы B1A и AD. Вектор B1A = (3, 0, 3) - (0, 0, 0) = (3, 0, 3),а вектор AD = (0, 3, 0) - (0, 0, 0) = (0, 3, 0). Угол между ними можно найти с помощью скалярного произведения. В данном случае, угол действительно равен 45°.

• Угол между прямой AB1 и плоскостью BB1C1C равен 45°;

Плоскость BB1C1C проходит через точки B (3, 0, 0),B1 (3, 0, 3),C1 (3, 3, 3) и C (3, 3, 0). Угол между прямой и плоскостью можно определить как угол между вектором, соответствующим прямой AB1 и нормальным вектором плоскости. После расчетов мы можем увидеть, что угол не равен 45°.

Таким образом, неверным утверждением является: "Угол между прямой AB1 и плоскостью BB1C1C равен 45°".