Для нахождения площади квадрата ABCD, в первую очередь, необходимо определить его сторону. Известно, что длина диагонали квадрата может быть связана со стороной квадратной фигуры с помощью теоремы Пифагора.

В квадрате ABCD диагональ AC делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника. Стороны квадрата обозначим как a. Тогда по теореме Пифагора для диагонали AC, которая равна 9 корень из 2 см, можно записать следующее уравнение:

Подставим известное значение диагонали:

Чтобы найти сторону квадрата a, разделим обе стороны уравнения на √2:

Теперь, зная длину стороны квадрата, можно вычислить его площадь. Площадь квадрата рассчитывается по формуле:

Подставим значение a:

Таким образом, площадь квадрата ABCD составляет 81 см².