В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 основание представляет собой квадрат со стороной 2. На боковом ребре dd1, длина которого равна 3, выбрана точка k, делящая его в отношении 2:1 от вершины d. Каков угол между прямыми kc и a1b1, а также угол между плоскостями akc и abc?

Геометрия 9 класс Прямоугольный параллелепипед и углы между прямыми и плоскостями прямоугольный параллелепипед угол между прямыми Угол между плоскостями основание квадрат длина бокового ребра точка деления геометрические задачи свойства параллелепипеда Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы найти углы, которые нас интересуют!

1. Определим координаты вершин параллелепипеда:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(2, 0, 3)
• C1(2, 2, 3)
• D1(0, 2, 3)

2. Найдем координаты точки K:

Точка K делит отрезок DD1 в отношении 2:1. Значит, ее координаты:

• K(0, 2, 2)

3. Найдем векторы, необходимые для вычисления углов:

• Вектор KC: C - K = (2, 2, 0) - (0, 2, 2) = (2, 0, -2)
• Вектор A1B1: B1 - A1 = (2, 0, 3) - (0, 0, 3) = (2, 0, 0)

4. Найдем угол между прямыми KC и A1B1:

Для нахождения угла между векторами используем формулу:

cos(θ) = (A * B) / (|A| * |B|), где A и B - векторы.

Скалярное произведение:

• A * B = (2, 0, -2) * (2, 0, 0) = 4 + 0 + 0 = 4

Длина вектора KC:

• |KC| = √(2^2 + 0^2 + (-2)^2) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2

Длина вектора A1B1:

• |A1B1| = √(2^2 + 0^2 + 0^2) = 2

Теперь подставим в формулу:

cos(θ) = 4 / (2√2 * 2) = 4 / (4√2) = 1 / √2.

Тогда угол θ = 45 градусов.

5. Теперь найдем угол между плоскостями AKC и ABC:

Для этого найдем нормали к плоскостям:

• Для плоскости ABC нормаль: N1 = (0, 0, 1) (плоскость лежит в XY)
• Для плоскости AKC найдем два вектора: AK и AC:

Векторы:

• AK = K - A = (0, 2, 2) - (0, 0, 0) = (0, 2, 2)
• AC = C - A = (2, 2, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2, 0)

Нормаль к плоскости AKC можно найти по векторному произведению:

• N2 = AK x AC = |i j k|
• |0 2 2|
• |2 2 0|

Вычисляем определитель:

• N2 = (0*(0) - 2*(2))i - (0*(0) - 2*(2))j + (0*(2) - 2*(2))k = (-4)i + (4)j + (0)k = (-4, 4, 0)

Теперь найдем угол между нормалями N1 и N2:

cos(φ) = (N1 * N2) / (|N1| * |N2|)

• N1 * N2 = (0, 0, 1) * (-4, 4, 0) = 0
• |N1| = 1, |N2| = √((-4)^2 + 4^2 + 0^2) = √32 = 4√2

Так как скалярное произведение равно 0, угол между плоскостями AKC и ABC равен 90 градусов.

Итак, вывод:

• Угол между прямыми KC и A1B1 равен 45 градусов.
• Угол между плоскостями AKC и ABC равен 90 градусов.

Это было увлекательно и интересно! Надеюсь, ты тоже получил удовольствие от решения этой задачи!