Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы найти углы, которые нас интересуют!

1. Определим координаты вершин параллелепипеда:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(2, 0, 3)
• C1(2, 2, 3)
• D1(0, 2, 3)

2. Найдем координаты точки K:

Точка K делит отрезок DD1 в отношении 2:1. Значит, ее координаты:

• K(0, 2, 2)

3. Найдем векторы, необходимые для вычисления углов:

• Вектор KC: C - K = (2, 2, 0) - (0, 2, 2) = (2, 0, -2)
• Вектор A1B1: B1 - A1 = (2, 0, 3) - (0, 0, 3) = (2, 0, 0)

4. Найдем угол между прямыми KC и A1B1:

Для нахождения угла между векторами используем формулу:

cos(θ) = (A * B) / (|A| * |B|),где A и B - векторы.

Скалярное произведение:

• A * B = (2, 0, -2) * (2, 0, 0) = 4 + 0 + 0 = 4

Длина вектора KC:

• |KC| = √(2^2 + 0^2 + (-2)^2) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2

Длина вектора A1B1:

• |A1B1| = √(2^2 + 0^2 + 0^2) = 2

Теперь подставим в формулу:

cos(θ) = 4 / (2√2 * 2) = 4 / (4√2) = 1 / √2.

Тогда угол θ = 45 градусов.

5. Теперь найдем угол между плоскостями AKC и ABC:

Для этого найдем нормали к плоскостям:

• Для плоскости ABC нормаль: N1 = (0, 0, 1) (плоскость лежит в XY)
• Для плоскости AKC найдем два вектора: AK и AC:

Векторы:

• AK = K - A = (0, 2, 2) - (0, 0, 0) = (0, 2, 2)
• AC = C - A = (2, 2, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2, 0)

Нормаль к плоскости AKC можно найти по векторному произведению:

• N2 = AK x AC = |i j k|
• |0 2 2|
• |2 2 0|

Вычисляем определитель:

• N2 = (0*(0) - 2*(2))i - (0*(0) - 2*(2))j + (0*(2) - 2*(2))k = (-4)i + (4)j + (0)k = (-4, 4, 0)

Теперь найдем угол между нормалями N1 и N2:

cos(φ) = (N1 * N2) / (|N1| * |N2|)

• N1 * N2 = (0, 0, 1) * (-4, 4, 0) = 0
• |N1| = 1, |N2| = √((-4)^2 + 4^2 + 0^2) = √32 = 4√2

Так как скалярное произведение равно 0, угол между плоскостями AKC и ABC равен 90 градусов.

Итак, вывод:

• Угол между прямыми KC и A1B1 равен 45 градусов.
• Угол между плоскостями AKC и ABC равен 90 градусов.

Это было увлекательно и интересно! Надеюсь, ты тоже получил удовольствие от решения этой задачи!