В прямоугольном треугольнике АВС, где угол С равен 90 градусам, медианы СК и ВМ пересекаются в точке О и перпендикулярны друг другу. Как можно найти длину гипотенузы АВ, если известно, что длина отрезка ОМ равна sqrt2 см?

Геометрия 9 класс Медианы и их свойства в прямоугольном треугольнике прямоугольный треугольник медианы длина гипотенузы угол 90 градусов точка пересечения отрезок ОМ геометрия 9 класс Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусам, медианы CK и BM пересекаются в точке O и перпендикулярны друг другу. Мы знаем, что длина отрезка OM равна sqrt(2) см, и нам нужно найти длину гипотенузы AB.

Для начала вспомним, что медиана в треугольнике делит его на два равновеликих треугольника. Медиана BM делит сторону AC пополам, а медиана CK делит сторону AB пополам. Обозначим:

• AB = c (гипотенуза),
• AC = b,
• BC = a.

Теперь давайте рассмотрим свойства медиан. Длина медианы в треугольнике может быть найдена по формуле:

m = 1/2 * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2),

где m - длина медианы, a и b - длины сторон, а c - длина стороны, к которой проведена медиана.

В нашем случае медиана CK будет делить сторону AB, а медиана BM будет делить сторону AC. Мы знаем, что медианы пересекаются в точке O и перпендикулярны друг другу.

Согласно свойству треугольников, если медианы треугольника пересекаются под прямым углом, то длины медиан связаны с длинами сторон треугольника следующим образом:

OM^2 = (2/9) * (a^2 + b^2 - (c^2)/2).

Мы знаем, что OM = sqrt(2) см, поэтому подставим это значение в уравнение:

(sqrt(2))^2 = (2/9) * (a^2 + b^2 - (c^2)/2).

Это упростится до:

2 = (2/9) * (a^2 + b^2 - (c^2)/2).

Умножим обе стороны на 9:

18 = 2 * (a^2 + b^2 - (c^2)/2).

Теперь разделим обе стороны на 2:

9 = a^2 + b^2 - (c^2)/2.

Так как в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора, то:

a^2 + b^2 = c^2.

Подставим это в уравнение:

9 = c^2 - (c^2)/2.

Упрощая это, получаем:

9 = (c^2)/2.

Теперь умножим обе стороны на 2:

18 = c^2.

Теперь найдем c:

c = sqrt(18) = 3sqrt(2).

Итак, длина гипотенузы AB равна 3sqrt(2) см.