В прямоугольном треугольнике длины медиан, проведённых из вершин острых углов, равны √156 и √89. Как можно найти длину гипотенузы?

Геометрия 9 класс Медианы и свойства прямоугольного треугольника прямоугольный треугольник медиана длина медианы гипотенуза острые углы геометрия 9 класс задачи по геометрии формулы медиан теорема о медианах вычисление гипотенузы Новый

Чтобы найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, зная длины медиан, проведённых из острых углов, можно воспользоваться формулами для медиан.

Обозначим:

• a — длина одной из катетов;
• b — длина другой катеты;
• c — длина гипотенузы;
• m_a — медиана, проведённая из вершины угла, противолежащего катету a;
• m_b — медиана, проведённая из вершины угла, противолежащего катету b.

Для медиан в прямоугольном треугольнике существуют следующие формулы:

• m_a = (1/2) * √(2b² + 2c² - a²);
• m_b = (1/2) * √(2a² + 2c² - b²).

В нашем случае:

• m_a = √156;
• m_b = √89.

Теперь подставим значения медиан в формулы:

1. Для m_a = √156:

(1/2) * √(2b² + 2c² - a²) = √156

Умножим обе стороны на 2:

√(2b² + 2c² - a²) = 2√156

Теперь возведём обе стороны в квадрат:

2b² + 2c² - a² = 4 * 156 = 624.

Это уравнение (1).
2. Для m_b = √89:

(1/2) * √(2a² + 2c² - b²) = √89

Умножим обе стороны на 2:

√(2a² + 2c² - b²) = 2√89

Теперь возведём обе стороны в квадрат:

2a² + 2c² - b² = 4 * 89 = 356.

Это уравнение (2).

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• Уравнение (1): 2b² + 2c² - a² = 624;
• Уравнение (2): 2a² + 2c² - b² = 356.

Теперь мы можем выразить a² и b² через c² и подставить в одно из уравнений, чтобы найти c.

Решая систему, мы можем найти значение c, которое и будет длиной гипотенузы. Этот метод требует немного алгебры, но в итоге мы получим искомую длину гипотенузы.

Если вы хотите, я могу помочь с дальнейшими шагами решения этой системы уравнений.