В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 проведена медиана к гипотенузе. Как найти синус угла между большим катетом и медианой?

Геометрия 9 класс Медианы и углы в треугольниках прямоугольный треугольник медиана синус угла катеты гипотенуза геометрия задачи по геометрии Новый

Для решения этой задачи, давайте сначала разберем, что такое медиана в треугольнике и как ее найти.

В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8, гипотенуза будет равна:

• c = √(a² + b²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Теперь мы знаем, что гипотенуза равна 10. Далее, медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее пополам и соединяет вершину треугольника с серединой гипотенузы. Длина медианы (m) к гипотенузе может быть найдена по формуле:

• m = (1/2) * √(2a² + 2b² - c²),

где a и b - это катеты, а c - гипотенуза. Подставим наши значения:

• m = (1/2) * √(2*6² + 2*8² - 10²) = (1/2) * √(2*36 + 2*64 - 100) = (1/2) * √(72 + 128 - 100) = (1/2) * √100 = (1/2) * 10 = 5.

Теперь у нас есть длина медианы, равная 5. Далее, нам нужно найти угол между большим катетом (длиной 8) и этой медианой.

Для этого мы можем использовать тригонометрические функции. Сначала найдем длину проекции медианы на большой катет. Мы можем воспользоваться теоремой о синусах:

• sin(угол) = противолежащий катет / гипотенуза.

Обозначим угол между медианой и большим катетом как α. Тогда:

• sin(α) = длина противолежащего катета / длина медианы.

Теперь, чтобы найти противолежащий катет, мы можем использовать теорему о прямоугольном треугольнике. Мы знаем, что:

• cos(угол) = прилежащий катет / гипотенуза.

Теперь нам нужно найти значение угла α, используя известные значения. Мы можем воспользоваться теоремой косинусов:

• c² = a² + b² - 2ab * cos(α).

Здесь c - это длина медианы, a - это длина большого катета, b - это длина меньшего катета. Подставим значения:

• 5² = 8² + 6² - 2 * 8 * 6 * cos(α).
• 25 = 64 + 36 - 96 * cos(α).
• 25 = 100 - 96 * cos(α).
• 96 * cos(α) = 100 - 25 = 75.
• cos(α) = 75 / 96.

Теперь, чтобы найти синус угла α, мы используем соотношение:

• sin²(α) + cos²(α) = 1.

Таким образом, мы можем найти sin(α):

• sin²(α) = 1 - (75/96)².

Теперь подставим и вычислим:

• sin²(α) = 1 - 5625/9216 = (9216 - 5625) / 9216 = 3581 / 9216.
• sin(α) = √(3581 / 9216).

Таким образом, мы нашли синус угла между большим катетом и медианой. Это значение можно вычислить численно, если необходимо.

Итак, ответ на вопрос: мы нашли синус угла между большим катетом и медианой, используя теорему косинусов и тригонометрические функции.