В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит её на отрезки длиной 3 и 7. Какова площадь этого треугольника?

Геометрия 9 класс Вписанная окружность в треугольнике прямоугольный треугольник вписанная окружность гипотенуза отрезки длина 3 длина 7 площадь треугольника геометрия 9 класс задача по геометрии свойства треугольника касательная окружность формулы площади решение задачи Новый

Для нахождения площади прямоугольного треугольника, в котором известны длины отрезков, на которые вписанная окружность делит гипотенузу, можно воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Определим длину гипотенузы

• Длина гипотенузы равна сумме отрезков, на которые она делится. В нашем случае это 3 и 7.
• Следовательно, длина гипотенузы (c) будет равна 3 + 7 = 10.

Шаг 2: Обозначим стороны треугольника

• Обозначим стороны прямоугольного треугольника как a и b, где a и b – это катеты, а c – гипотенуза.

Шаг 3: Определим длины катетов

• Согласно свойству вписанной окружности, отрезки, на которые гипотенуза делится, равны половине разности длин катетов:
• x = (a - b) / 2 = 3, y = (b - a) / 2 = 7.
• Таким образом, можно выразить катеты:
• a = b + 2 * 3 = b + 6
• a = b - 2 * 7 = b - 14.

Шаг 4: Составим уравнение

• Теперь у нас есть два уравнения:
• 1) a = b + 6
• 2) a = b - 14
• Приравняем их:
• b + 6 = b - 14.
• Это уравнение не имеет решения, что говорит о том, что мы неправильно выразили стороны.

Шаг 5: Используем формулу для площади

• Площадь прямоугольного треугольника можно также найти по формуле:
• Площадь = (a * b) / 2.
• Зная, что s = (a + b + c) / 2, где s – полупериметр, мы можем найти площадь через полупериметр:
• Площадь = r * s, где r – радиус вписанной окружности.

Шаг 6: Находим радиус вписанной окружности

• Радиус вписанной окружности r = (a + b - c) / 2.
• Так как c = 10, то:
• r = (a + b - 10) / 2.

Шаг 7: Подставляем значения

• Теперь мы можем найти площадь:
• Площадь = r * s = (a + b - 10) / 2 * (a + b + 10) / 2.

Шаг 8: Подводим итог

• Тем не менее, проще всего будет воспользоваться формулой для площади, зная длины отрезков:
• Площадь = 3 * 7 = 21.

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника составляет 21 квадратную единицу.