В равнобедренном треугольнике ABC медианы пересекаются в точке O. Какое расстояние от точки O до вершины B этого треугольника, если AB=AC= 13 см, а BC=10 см?

Геометрия 9 класс Равнобедренные треугольники и их свойства равнобедренный треугольник медианы треугольника расстояние от точки O вершина B AB=AC=13 см BC=10 см задача по геометрии Новый

Для решения данной задачи сначала вспомним некоторые свойства равнобедренного треугольника и медиан.

1. В равнобедренном треугольнике ABC, где AB = AC, медиана, проведенная из вершины A к основанию BC, делит основание на две равные части. Таким образом, точка D, где медиана AD пересекает основание BC, будет делить отрезок BC пополам. Значит, BD = DC = 10 см / 2 = 5 см.

2. Теперь мы можем найти длину медианы AD, используя теорему о медиане. Длина медианы m, проведенной из вершины A к основанию BC, рассчитывается по формуле:

m = 1/2 * √(2a² + 2b² - c²)

где a и b - длины сторон треугольника, а c - длина основания. В нашем случае:

• a = AB = 13 см
• b = AC = 13 см
• c = BC = 10 см

Подставим значения в формулу:

m = 1/2 * √(2 * 13² + 2 * 13² - 10²)

Теперь посчитаем:

• 13² = 169
• 2 * 13² = 2 * 169 = 338
• 10² = 100

Теперь подставим в формулу:

m = 1/2 * √(338 + 338 - 100)

m = 1/2 * √(576)

m = 1/2 * 24 = 12 см

3. Теперь, когда мы знаем длину медианы AD, нам нужно найти расстояние от точки O до вершины B. Точка O является центром масс треугольника, и по свойству медиан, она делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, расстояние от O до A будет в два раза больше, чем расстояние от O до D.

Так как AD = 12 см, то:

• AO = 2/3 * AD = 2/3 * 12 см = 8 см
• OD = 1/3 * AD = 1/3 * 12 см = 4 см

4. Теперь мы можем найти расстояние от O до вершины B. Так как O находится на медиане AD, а D делит основание BC пополам, то расстояние от O до B можно найти, используя прямоугольный треугольник ABD. В этом треугольнике:

• AB = 13 см
• AD = 12 см
• OD = 4 см

5. Для нахождения расстояния OB, используем теорему Пифагора в треугольнике AOB:

AB² = AO² + OB²

13² = 8² + OB²

Теперь подставим значения:

169 = 64 + OB²

OB² = 169 - 64 = 105

OB = √105 ≈ 10.25 см

Таким образом, расстояние от точки O до вершины B составляет примерно 10.25 см.