В равнобедренную трапецию, у которой периметр составляет 120, а площадь равна 540, возможно вписать окружность. Каково расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания?

Геометрия 9 класс Взаимосвязь между периметром, площадью и свойствами трапеции равнобедренная трапеция периметр 120 площадь 540 вписанная окружность расстояние до основания диагонали трапеции Новый

Чтобы найти расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равнобедренной трапеции, давайте последовательно разберем задачу.

Шаг 1: Определим обозначения.

Обозначим:

• a - длина меньшего основания,
• b - длина большего основания,
• h - высота трапеции,
• c - длина боковой стороны (равные стороны трапеции).

Шаг 2: Используем известные формулы.

Для равнобедренной трапеции, у которой вписана окружность, выполняется следующее соотношение:

a + b = 2c.

Также, периметр равнобедренной трапеции можно выразить как:

P = a + b + 2c = 120.

Площадь трапеции выражается как:

S = (a + b) * h / 2.

В нашем случае площадь равна 540, значит:

(a + b) * h / 2 = 540.

Отсюда получаем:

(a + b) * h = 1080.

Шаг 3: Решим систему уравнений.

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) a + b + 2c = 120,
• 2) (a + b) * h = 1080.

Из первого уравнения выразим c:

c = (120 - (a + b)) / 2.

Подставим это значение во второе уравнение. Для этого нам нужно выразить h через a и b:

h = 1080 / (a + b).

Шаг 4: Найдем h.

Теперь подставим h в первое уравнение:

120 = a + b + 2 * (120 - (a + b)) / 2.

После упрощения мы получим значение a + b.

Шаг 5: Найдем расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания в равнобедренной трапеции можно найти по формуле:

D = h / 2,

где h - высота, которую мы вычислили. Подставив найденное значение h, мы получим искомое расстояние D.

Шаг 6: Подсчет.

Давайте подставим значения и посчитаем. Если a + b = 60 (например), то h = 1080 / 60 = 18. Тогда:

D = 18 / 2 = 9.

Таким образом, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно 9 единиц.