В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Какова длина отрезка MPN?

Геометрия 9 класс Биссектрисы в треугольнике равносторонний треугольник биссектрисы длина отрезка геометрия 9 класс точка пересечения Новый

Для решения этой задачи начнем с того, что в равностороннем треугольнике ABC все стороны равны, и все углы равны 60 градусам. Рассмотрим треугольник ABC и его биссектрисы AM и CN.

Шаг 1: Определим свойства биссектрис.

• Биссектрисы треугольника делят углы пополам.
• В равностороннем треугольнике углы A, B и C равны 60 градусам, следовательно, биссектрисы AM и CN делят углы A и C на два равных угла по 30 градусов.

Шаг 2: Найдем координаты точек.

• Предположим, что треугольник ABC расположен в координатной плоскости следующим образом:
  • A(0, 0)
  • B(a, 0)
  • C(a/2, (a * √3) / 2)
• Где a – длина стороны треугольника.

Шаг 3: Найдем координаты точек M и N.

• Точка M – середина стороны BC. Ее координаты будут:
  • M((a/2 + a) / 2, ((a * √3) / 2 + 0) / 2) = (3a/4, (a * √3) / 4)
• Точка N – середина стороны AB. Ее координаты будут:
  • N((0 + a) / 2, (0 + 0) / 2) = (a/2, 0)

Шаг 4: Найдем координаты точки P.

• Точка P – точка пересечения биссектрис AM и CN. В равностороннем треугольнике точка пересечения биссектрис также является центром масс, и ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат вершин:
  • P((0 + a + a/2) / 3, (0 + 0 + (a * √3) / 2) / 3) = (a/3, (√3 * a) / 6)

Шаг 5: Найдем длину отрезка MPN.

• Используем формулу для нахождения длины отрезка между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):
  • Длина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
• Теперь подставим координаты точек M и N:
  • M(3a/4, (a * √3) / 4), N(a/2, 0)
  • Длина MPN = √(((3a/4) - (a/2))² + (((a * √3) / 4) - 0)²)

Шаг 6: Упростим выражение.

• Сначала упростим разность координат:
  • (3a/4) - (a/2) = (3a/4) - (2a/4) = (a/4)
• Теперь подставим в формулу:
  • Длина = √(((a/4)²) + (((a * √3) / 4)²)) = √((a²/16) + (3a²/16)) = √((4a²/16)) = √(a²/4) = a/2

Ответ: Длина отрезка MPN равна a/2, где a – длина стороны треугольника ABC.