Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть. У нас есть прямоугольный треугольник ABC с углом C, радиусом вписанной окружности r = 2 см и суммой катетов a + b = 14 см, где a и b – это длины катетов.

Шаг 1: Используем формулу радиуса вписанной окружности.

В прямоугольном треугольнике формула для радиуса вписанной окружности r выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

r = (a + b - c) / 2,

где c – длина гипотенузы. Мы знаем, что r = 2 см и a + b = 14 см. Подставим эти значения в формулу:

2 = (14 - c) / 2.

Шаг 2: Решим уравнение.

Умножим обе стороны на 2:

4 = 14 - c.

Теперь выразим c:

c = 14 - 4 = 10 см.

Шаг 3: Используем теорему Пифагора.

Теперь у нас есть длина гипотенузы c = 10 см. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения катетов:

a^2 + b^2 = c^2.

Подставим значение c:

a^2 + b^2 = 10^2 = 100.

Шаг 4: Составим систему уравнений.

У нас есть два уравнения:

• a + b = 14,
• a^2 + b^2 = 100.

Из первого уравнения выразим b:

b = 14 - a.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a^2 + (14 - a)^2 = 100.

Раскроем скобки:

a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100.

Соберем подобные слагаемые:

2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0.

Упростим:

2a^2 - 28a + 96 = 0.

Разделим всё на 2:

a^2 - 14a + 48 = 0.

Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения.

Используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 1 * 48 = 196 - 192 = 4.

Теперь найдем корни:

a = (14 ± √D) / 2 = (14 ± 2) / 2.

Получаем два значения:

• a1 = (16) / 2 = 8 см,
• a2 = (12) / 2 = 6 см.

Таким образом, катеты равны a = 8 см и b = 6 см (или наоборот).

Шаг 6: Найдем длину стороны AB и площадь треугольника.

Длина стороны AB (гипотенуза) уже известна и равна 10 см.

Теперь найдем площадь треугольника ABC:

Площадь S = (a * b) / 2 = (8 * 6) / 2 = 48 / 2 = 24 см².

Ответ:

• Длина стороны AB (гипотенузы) = 10 см.
• Площадь треугольника ABC = 24 см².