В треугольнике ABC, угол C равен 135°, стороны AB и BC равны 3√2. Как найти углы A и B, используя теорему косинусов?

Геометрия 9 класс Косинусная теорема геометрия 9 класс треугольник ABC угол C 135 градусов стороны AB BC 3√2 углы A B теорема косинусов нахождение углов свойства треугольников углы треугольника решение задач по геометрии Новый

Для нахождения углов A и B в треугольнике ABC, где угол C равен 135° и стороны AB и BC равны 3√2, мы можем использовать теорему косинусов. Давайте поэтапно разберем решение.

Шаг 1: Запишем теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит, что для любого треугольника ABC со сторонами a, b и c, противолежащими углам A, B и C соответственно, выполняется следующее равенство:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

Где:

• c – сторона, противолежащая углу C (в нашем случае это сторона AB),
• a – сторона, противолежащая углу A (сторона BC),
• b – сторона, противолежащая углу B (сторона AC).

Шаг 2: Определим стороны треугольника.

Пусть:

• AB = c = 3√2,
• BC = a = 3√2,
• AC = b (неизвестная сторона).

Шаг 3: Подставим известные значения в теорему косинусов.

Подставим значения в формулу:

(3√2)² = (3√2)² + b² - 2 * (3√2) * b * cos(135°)

Зная, что cos(135°) = -√2/2, упростим уравнение:

18 = 18 + b² + 3√2 * b * √2

18 = 18 + b² + 3b

Теперь упростим уравнение:

0 = b² + 3b

Это квадратное уравнение можно решить, выделив общий множитель:

b(b + 3) = 0

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Решения уравнения:

• b = 0 (не подходит, так как сторона не может быть равна 0),
• b + 3 = 0, следовательно b = -3 (также не подходит).

Таким образом, у нас есть только одно решение для стороны AC, которое не подходит. Это означает, что мы должны использовать другой подход для нахождения углов A и B.

Шаг 5: Используем теорему синусов.

Теперь, когда у нас есть стороны и угол C, мы можем использовать теорему синусов:

sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c

Так как C = 135°, мы можем найти sin(135°) = √2/2.

Шаг 6: Найдем углы A и B.

Используя теорему синусов, мы можем выразить углы A и B через угол C:

sin(A)/3√2 = sin(135°)/3√2

Таким образом, sin(A) = sin(135°) = √2/2, что дает углы A = 45° или A = 135°.

Поскольку A не может быть равен 135°, мы получаем A = 45°.

Теперь, зная угол A, можем найти угол B:

B = 180° - A - C = 180° - 45° - 135° = 0° (что невозможно).

Таким образом, мы пришли к выводу, что в этом треугольнике, учитывая данные условия, углы A и B равны 45° и 0°, что также невозможно. Следовательно, мы должны пересмотреть условия задачи или предположить, что треугольник вырожденный.

Ответ: Углы A и B равны 45° и 0° соответственно, что указывает на вырожденный треугольник.