2024-12-16 15:25:49
В треугольнике АВС. Точка М находится на стороне АВ, а точка К на стороне ВС. Отношение ВМ к МА равно 3:4. Плоскость альфа, проходящая через МК, параллельна стороне АС.
Необходимо доказать, что отношение ВС к ВК равно 7:3, и найти длину отрезка МК, если длина АС составляет 14 см.
Геометрия 9 класс Параллельные прямые и пропорциональные отрезки в треугольниках геометрия треугольник отношение отрезков плоскость доказательство длина отрезка параллельные линии сторона треугольника задачи по геометрии свойства треугольника
2024-12-16 15:26:07
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
1. Установим известные данные:
- Треугольник ABC.
- Точка M на стороне AB.
- Точка K на стороне BC.
- Отношение BM к MA равно 3:4.
- Плоскость альфа, проходящая через MK, параллельна стороне AC.
- Длина AC составляет 14 см.
2. Определим длины отрезков:
- Пусть длина BM равна 3x, тогда длина MA будет равна 4x.
- Следовательно, длина AB = BM + MA = 3x + 4x = 7x.
3. Используем подобие треугольников:
Поскольку плоскость альфа параллельна стороне AC, то треугольники BKM и ABC являются подобными. Это значит, что их соответствующие стороны пропорциональны.
4. Запишем пропорцию:
Согласно подобию треугольников, мы можем записать следующее соотношение:
- (BM / AB) = (BK / BC).
5. Подставим известные значения:
Мы знаем, что:
- BM = 3x,
- AB = 7x,
- BK = y (длина отрезка BK),
- BC = BK + KC = y + z.
6. Составим уравнение:
Теперь подставим в пропорцию:
- (3x / 7x) = (y / (y + z)).
7. Упрощаем уравнение:
Сократим x:
- (3 / 7) = (y / (y + z)).
8. Перекрестное умножение:
- 3(y + z) = 7y.
9. Решаем уравнение:
- 3y + 3z = 7y.
- 3z = 7y - 3y.
- 3z = 4y.
- z = (4/3)y.
10. Теперь найдем отношение:
Мы знаем, что BC = y + z = y + (4/3)y = (7/3)y.
Следовательно, отношение BC к BK будет:
- BC : BK = (7/3)y : y = 7 : 3.
Таким образом, мы доказали, что отношение BC к BK равно 7:3.
11. Теперь найдем длину отрезка MK:
Согласно подобию треугольников, можно записать:
- MK / AC = BM / AB.
Подставим известные значения:
- MK / 14 = 3x / 7x.
Сократим x:
- MK / 14 = 3 / 7.
12. Решим уравнение:
- MK = 14 * (3 / 7) = 14 * 0.4286 = 6 см.
Таким образом, длина отрезка MK составляет 6 см.
Ответ: Отношение BC к BK равно 7:3, длина отрезка MK составляет 6 см.
