В треугольнике АВС. Точка М находится на стороне АВ, а точка К на стороне ВС. Отношение ВМ к МА равно 3:4. Плоскость альфа, проходящая через МК, параллельна стороне АС.
Необходимо доказать, что отношение ВС к ВК равно 7:3, и найти длину отрезка МК, если длина АС составляет 14 см.

Геометрия 9 класс Параллельные прямые и пропорциональные отрезки в треугольниках геометрия треугольник отношение отрезков плоскость доказательство длина отрезка параллельные линии сторона треугольника задачи по геометрии свойства треугольника Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Установим известные данные:

• Треугольник ABC.
• Точка M на стороне AB.
• Точка K на стороне BC.
• Отношение BM к MA равно 3:4.
• Плоскость альфа, проходящая через MK, параллельна стороне AC.
• Длина AC составляет 14 см.

2. Определим длины отрезков:

• Пусть длина BM равна 3x, тогда длина MA будет равна 4x.
• Следовательно, длина AB = BM + MA = 3x + 4x = 7x.

3. Используем подобие треугольников:

Поскольку плоскость альфа параллельна стороне AC, то треугольники BKM и ABC являются подобными. Это значит, что их соответствующие стороны пропорциональны.

4. Запишем пропорцию:

Согласно подобию треугольников, мы можем записать следующее соотношение:

• (BM / AB) = (BK / BC).

5. Подставим известные значения:

Мы знаем, что:

• BM = 3x,
• AB = 7x,
• BK = y (длина отрезка BK),
• BC = BK + KC = y + z.

6. Составим уравнение:

Теперь подставим в пропорцию:

• (3x / 7x) = (y / (y + z)).

7. Упрощаем уравнение:

Сократим x:

• (3 / 7) = (y / (y + z)).

8. Перекрестное умножение:

• 3(y + z) = 7y.

9. Решаем уравнение:

• 3y + 3z = 7y.
• 3z = 7y - 3y.
• 3z = 4y.
• z = (4/3)y.

10. Теперь найдем отношение:

Мы знаем, что BC = y + z = y + (4/3)y = (7/3)y.

Следовательно, отношение BC к BK будет:

• BC : BK = (7/3)y : y = 7 : 3.

Таким образом, мы доказали, что отношение BC к BK равно 7:3.

11. Теперь найдем длину отрезка MK:

Согласно подобию треугольников, можно записать:

• MK / AC = BM / AB.

Подставим известные значения:

• MK / 14 = 3x / 7x.

Сократим x:

• MK / 14 = 3 / 7.

12. Решим уравнение:

• MK = 14 * (3 / 7) = 14 * 0.4286 = 6 см.

Таким образом, длина отрезка MK составляет 6 см.

Ответ: Отношение BC к BK равно 7:3, длина отрезка MK составляет 6 см.