В треугольнике две стороны равны 4 см и 7 см, а косинус угла между ними равен -2/7. Как можно определить синус всех углов этого треугольника и длину третьей стороны?

Геометрия 9 класс Треугольники. Синус и косинус углов. Теорема косинусов геометрия треугольник стороны равные 4 см 7 см косинус угла -2/7 синус углов длина третьей стороны 9 класс задачи по геометрии Тригонометрия формулы вычисления углы треугольника Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать теорему косинусов и теорему синусов. Давайте разберем шаги по порядку.

1. Определение длины третьей стороны:

Сначала найдем длину третьей стороны треугольника, используя теорему косинусов. Теорема косинусов гласит:

c² = a² + b² - 2ab * cos(γ),

где:

• a = 4 см (первая сторона),
• b = 7 см (вторая сторона),
• γ = угол между ними, cos(γ) = -2/7.

Подставим известные значения в формулу:

1. c² = 4² + 7² - 2 * 4 * 7 * (-2/7),
2. c² = 16 + 49 + 2 * 4 * 4,
3. c² = 16 + 49 + 32,
4. c² = 97.

Теперь найдем длину третьей стороны c:

c = √97 ≈ 9.85 см.

2. Определение синуса угла между сторонами:

Теперь мы можем найти синус угла γ, используя основное тригонометрическое соотношение:

sin²(γ) + cos²(γ) = 1.

Подставляем значение косинуса:

1. sin²(γ) + (-2/7)² = 1,
2. sin²(γ) + 4/49 = 1,
3. sin²(γ) = 1 - 4/49 = 49/49 - 4/49 = 45/49.

Теперь найдем синус угла γ:

sin(γ) = √(45/49) = √45 / 7 ≈ 0.964.

3. Определение других углов:

Теперь, чтобы найти другие углы, мы можем использовать теорему синусов:

a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ).

Сначала найдем угол α:

1. 4/sin(α) = 9.85/sin(γ),
2. sin(α) = (4 * sin(γ)) / 9.85.

Подставляем значение sin(γ):

1. sin(α) = (4 * √45/7) / 9.85.

Теперь аналогично найдем угол β:

1. 7/sin(β) = 9.85/sin(γ),
2. sin(β) = (7 * sin(γ)) / 9.85.

4. Заключение:

Теперь у нас есть все необходимые данные:

• Длина третьей стороны c ≈ 9.85 см.
• Синус угла γ ≈ 0.964.
• Синусы углов α и β можно найти по аналогичным формулам.

Таким образом, мы определили синусы всех углов и длину третьей стороны треугольника.