В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 6, BC = CD = 10, AD = 16, AC = 14.

а) Докажи, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Вычисли BD ⋅ AC.

а) Некоторые этапы доказательства (сделай рисунок в тетради, сохранив обозначения точек).

∠ABC + ∠ADC = ...° + ...° = ...°

б)

1. 156
2. 380
3. 256
4. 220

Геометрия 9 класс Круг и окружность в геометрии выпуклый четырёхугольник стороны и диагонали описанная окружность вычисление BD угол ABC угол ADC геометрия доказательство задачи по геометрии Новый

Давайте разберем задачу по частям. Начнем с пункта а) и докажем, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Шаг 1: Используем теорему о вписанном четырехугольнике.

Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равна 180 градусам:

• ∠ABC + ∠ADC = 180°
• ∠ABD + ∠CDB = 180°

Шаг 2: Найдем углы.

Для этого воспользуемся свойствами треугольников и теоремой косинусов. Нам нужно найти углы ∠ABC и ∠ADC.

В треугольнике ABC:

• AB = 6
• BC = 10
• AC = 14

По теореме косинусов:

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠ABC)

Подставим известные значения:

14² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cos(∠ABC)

196 = 36 + 100 - 120 * cos(∠ABC)

196 = 136 - 120 * cos(∠ABC)

120 * cos(∠ABC) = 136 - 196

120 * cos(∠ABC) = -60

cos(∠ABC) = -0.5

∠ABC = 120°

Теперь найдем угол ∠ADC в треугольнике ACD:

• AD = 16
• CD = 10
• AC = 14

По теореме косинусов:

AC² = AD² + CD² - 2 * AD * CD * cos(∠ADC)

14² = 16² + 10² - 2 * 16 * 10 * cos(∠ADC)

196 = 256 + 100 - 320 * cos(∠ADC)

196 = 356 - 320 * cos(∠ADC)

320 * cos(∠ADC) = 356 - 196

320 * cos(∠ADC) = 160

cos(∠ADC) = 0.5

∠ADC = 60°

Шаг 3: Подсчитаем сумму углов.

Теперь мы можем найти сумму:

∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD можно вписать в окружность.

Пункт б): Вычислим BD ⋅ AC.

Теперь нам нужно найти произведение BD и AC. Для этого мы можем воспользоваться теоремой о произведении диагоналей в вписанном четырехугольнике:

AB * CD + AD * BC = AC * BD.

Шаг 1: Подставляем известные значения.

• AB = 6
• CD = 10
• AD = 16
• BC = 10
• AC = 14

Шаг 2: Подсчитаем произведение.

6 * 10 + 16 * 10 = 14 * BD.

60 + 160 = 14 * BD.

220 = 14 * BD.

BD = 220 / 14.

BD = 15.7142857142857 (приблизительно).

Шаг 3: Вычислим BD ⋅ AC.

Теперь мы можем найти BD * AC:

BD * AC = 15.7142857142857 * 14 = 220.

Ответ:

а) Четырехугольник ABCD можно вписать в окружность. б) BD ⋅ AC = 220.