Векторы a, b и c выполняют равенство a + b + c = 0, при этом длины векторов составляют |a| = 13, |b| = 14 и |c| = 15. Какова сумма произведений ab + bc + ac?

Геометрия 9 класс Векторы и скалярное произведение векторы геометрия 9 класс равенство векторов длины векторов сумма произведений AB BC AC задача по геометрии решение задачи векторная алгебра свойства векторов Новый

Для решения задачи, давайте начнем с того, что у нас есть три вектора a, b и c, которые удовлетворяют равенству:

a + b + c = 0

Это равенство можно переписать как:

c = - (a + b)

Теперь мы знаем длины векторов:

• |a| = 13
• |b| = 14
• |c| = 15

Теперь мы можем использовать формулу для суммы произведений векторов:

ab + bc + ac = |a||b|cos(α) + |b||c|cos(β) + |c||a|cos(γ)

где α, β и γ - углы между соответствующими векторами. Однако, мы можем использовать свойство, что сумма векторов равна нулю, чтобы упростить расчет.

Из условия a + b + c = 0 следует, что:

|c|^2 = |a + b|^2

Теперь можем воспользоваться формулой для вычисления длины суммы векторов:

|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2ab

Здесь ab - это скалярное произведение векторов a и b. Подставим известные значения:

|c|^2 = 15^2 = 225

|a|^2 = 13^2 = 169

|b|^2 = 14^2 = 196

Теперь подставляем это в уравнение:

225 = 169 + 196 + 2ab

Теперь упростим это уравнение:

225 = 365 + 2ab

Переносим 365 в левую часть:

225 - 365 = 2ab

-140 = 2ab

Теперь делим обе стороны на 2:

ab = -70

Теперь, чтобы найти сумму произведений ab + bc + ac, нам нужно найти значения bc и ac.

Используя аналогичный подход, мы можем выразить bc и ac через скалярные произведения:

bc = |b||c|cos(β)

ac = |a||c|cos(γ)

Но мы можем заметить, что поскольку c = - (a + b), это означает, что:

bc + ac = -ab

Теперь подставим значения:

bc + ac = -(-70) = 70

Таким образом, сумма произведений будет:

ab + bc + ac = -70 + 70 = 0

Итак, итоговый ответ:

Сумма произведений ab + bc + ac равна 0.