2024-11-07 03:52:24
Векторы a, b и c выполняют равенство a + b + c = 0, при этом длины векторов составляют |a| = 13, |b| = 14 и |c| = 15. Какова сумма произведений ab + bc + ac?
Геометрия 9 класс Векторы и скалярное произведение векторы геометрия 9 класс равенство векторов длины векторов сумма произведений AB BC AC задача по геометрии решение задачи векторная алгебра свойства векторов
2024-11-07 03:52:24
Для решения задачи, давайте начнем с того, что у нас есть три вектора a, b и c, которые удовлетворяют равенству:
a + b + c = 0
Это равенство можно переписать как:
c = - (a + b)
Теперь мы знаем длины векторов:
- |a| = 13
- |b| = 14
- |c| = 15
Теперь мы можем использовать формулу для суммы произведений векторов:
ab + bc + ac = |a||b|cos(α) + |b||c|cos(β) + |c||a|cos(γ)
где α, β и γ - углы между соответствующими векторами. Однако, мы можем использовать свойство, что сумма векторов равна нулю, чтобы упростить расчет.
Из условия a + b + c = 0 следует, что:
|c|^2 = |a + b|^2
Теперь можем воспользоваться формулой для вычисления длины суммы векторов:
|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2ab
Здесь ab - это скалярное произведение векторов a и b. Подставим известные значения:
|c|^2 = 15^2 = 225
|a|^2 = 13^2 = 169
|b|^2 = 14^2 = 196
Теперь подставляем это в уравнение:
225 = 169 + 196 + 2ab
Теперь упростим это уравнение:
225 = 365 + 2ab
Переносим 365 в левую часть:
225 - 365 = 2ab
-140 = 2ab
Теперь делим обе стороны на 2:
ab = -70
Теперь, чтобы найти сумму произведений ab + bc + ac, нам нужно найти значения bc и ac.
Используя аналогичный подход, мы можем выразить bc и ac через скалярные произведения:
bc = |b||c|cos(β)
ac = |a||c|cos(γ)
Но мы можем заметить, что поскольку c = - (a + b), это означает, что:
bc + ac = -ab
Теперь подставим значения:
bc + ac = -(-70) = 70
Таким образом, сумма произведений будет:
ab + bc + ac = -70 + 70 = 0
Итак, итоговый ответ:
Сумма произведений ab + bc + ac равна 0.
