Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 2:3:7. Какой радиус окружности, если меньшая из сторон равна 16?
Геометрия 9 класс Окружность и треугольники геометрия 9 класс треугольник окружность радиус дуги длины дуг отношение стороны треугольника задача математика решение задач окружность треугольника свойства треугольника Новый
Чтобы решить эту задачу, нужно использовать свойства окружности, описанной около треугольника, и соотношения дуг, которые соответствуют углам треугольника.
1. Сначала обозначим дуги окружности. Пусть длины дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, равны 2x, 3x и 7x. Так как сумма всех дуг окружности равна ее полному периметру, то:
2x + 3x + 7x = 12x
Поскольку полный круг равен 360 градусам, то:
12x = 360 градусов
Отсюда находим x:
x = 30 градусов
Теперь можно найти величины дуг:
2. В треугольнике углы при вершинах будут равны половинам соответствующих дуг, поскольку угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается. Тогда углы треугольника равны:
3. Теперь используем теорему синусов для треугольника:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - углы треугольника, R - радиус описанной окружности.
Пусть меньшая сторона треугольника равна 16. Эта сторона будет против угла 30 градусов. Тогда:
16 / sin(30) = 2R
Значение синуса 30 градусов равно 1/2, поэтому:
16 / (1/2) = 2R
Отсюда:
16 * 2 = 2R
32 = 2R
Таким образом, радиус окружности:
R = 32 / 2 = 16
Ответ: радиус окружности равен 16.