Вокруг квадрата ABCD со стороной 6 корней из 2 описана окружность с центром O. Окружность, вписанная в этот квадрат, касается стороны AD в точке H. Какова площадь треугольника OCH?

Геометрия 9 класс Окружности и квадраты геометрия 9 класс квадрат ABCD окружность площадь треугольника точка H сторона AD центр O вписанная окружность треугольник OCH Новый

Для решения задачи начнем с того, что нам нужно определить расположение всех ключевых элементов: квадрата ABCD, окружностей и точек H и O.

Шаг 1: Определим координаты вершин квадрата ABCD.

Пусть квадрат ABCD расположен в координатной плоскости следующим образом:

• A(0, 0)
• B(6√2, 0)
• C(6√2, 6√2)
• D(0, 6√2)

Сторона квадрата равна 6√2, что соответствует условию задачи.

Шаг 2: Найдем центр окружности O.

Центр окружности O, описанной вокруг квадрата, находится в его центре. Поскольку квадрат симметричен, его центр можно найти как среднее арифметическое координат вершин:

• O((0 + 6√2) / 2, (0 + 6√2) / 2) = O(3√2, 3√2)

Шаг 3: Найдем координаты точки H.

Точка H — это точка касания вписанной окружности с стороной AD. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, то есть:

• r = (6√2) / 2 = 3√2

Точка H будет находиться на стороне AD, которая имеет координаты (0, y) для y от 0 до 6√2. Поскольку H — это точка касания, ее координаты будут:

• H(0, 3√2)

Шаг 4: Найдем площадь треугольника OCH.

Теперь у нас есть все необходимые точки для нахождения площади треугольника OCH. Координаты точек:

• O(3√2, 3√2)
• C(6√2, 6√2)
• H(0, 3√2)

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

• Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Подставляем координаты O, C и H:

• x1 = 3√2, y1 = 3√2
• x2 = 6√2, y2 = 6√2
• x3 = 0, y3 = 3√2

Теперь подставим значения в формулу:

• Площадь = 0.5 * |3√2(6√2 - 3√2) + 6√2(3√2 - 3√2) + 0(3√2 - 6√2)|
• Площадь = 0.5 * |3√2(3√2) + 0 + 0|
• Площадь = 0.5 * |9| = 4.5

Ответ: Площадь треугольника OCH равна 9.