Вопрос: Из точки М опущен перпендикуляр МО на плоскость α. Точки А и В находятся на плоскости α, угол ∠MAO равен 30°, угол ∠MBO равен 60°, угол ∠AOB равен 120°, длина AO составляет 3. Какое расстояние между точками А и В?

Геометрия 9 класс Векторы и расстояния в пространстве геометрия 9 класс перпендикуляр плоскость угол расстояние точки треугольники задачи по геометрии решение задач угол MAO угол MBO угол AOB длина AO расстояние между точками свойства углов теорема о треугольниках Новый

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами треугольников и векторной геометрией. Рассмотрим шаги, которые помогут нам найти расстояние между точками A и B.

1. Определение координат точек:
   • Пусть точка O находится в начале координат (0, 0, 0).
   • Точка A будет находиться на расстоянии 3 от точки O под углом 30° к оси OZ. Поскольку AO = 3, можно определить координаты точки A:
   • AO = 3, угол ∠MAO = 30°:
   • Координаты точки A:
     • x_A = AO * sin(30°) = 3 * 0.5 = 1.5
     • y_A = AO * cos(30°) = 3 * (√3/2) = 3√3/2 ≈ 2.598
     • z_A = 0 (поскольку точка A лежит в плоскости α).
2. Находим координаты точки B:
   • Угол ∠MBO равен 60°, и мы можем использовать аналогичный подход для нахождения координат точки B:
   • Координаты точки B:
     • x_B = BO * sin(60°) = BO * (√3/2)
     • y_B = BO * cos(60°) = BO * 0.5
3. Используем угол ∠AOB:
   • Угол ∠AOB равен 120°. Это означает, что вектор AB образует угол 120° с вектором OA.
   • Согласно формуле для расстояния между двумя точками в пространстве, мы можем использовать закон косинусов:
   • AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 * AO * BO * cos(120°).
4. Подставляем известные значения:
   • AO = 3, BO = 3 (по аналогии с AO, поскольку точки A и B находятся на одной плоскости).
   • cos(120°) = -0.5.
   • Подставляем в формулу:
     • AB^2 = 3^2 + 3^2 - 2 * 3 * 3 * (-0.5) = 9 + 9 + 9 = 27.
   • Таким образом, AB = √27 = 3√3.

Итак, расстояние между точками A и B составляет 3√3.