Для решения данной задачи начнем с анализа правильного тетраэдра DABC и заданных условий.

1. Вычисление длины ребра тетраэдра:

• Площадь боковой поверхности правильного тетраэдра можно выразить через длину его ребра (a) по формуле: S = a²√3.
• В данном случае площадь боковой поверхности равна 108√3 см². Следовательно, уравнение будет выглядеть так: a²√3 = 108√3.
• Разделим обе стороны на √3: a² = 108.
• Таким образом, a = √108 = 6√3 см.

2. Определение координат точек T и O:

• Точка T - середина ребра DC, следовательно, ее координаты будут равны (0, 0, 3√3),если D находится в (0, 0, 0),C в (6√3, 0, 0).
• Точка O - середина ребра DA, следовательно, ее координаты будут равны (0, 0, 3√3),если A находится в (3√3, 3√3, 0).

3. Вычисление радиуса вписанной окружности треугольника DTO:

• Для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник, используем формулу: r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр.
• Площадь треугольника можно найти по формуле Герона или через векторное произведение, но для простоты воспользуемся формулой через основание и высоту.

4. Площадь сектора окружности:

• Сектор, ограниченный двумя радиусами, проведенными в точки касания, будет равен половине площади окружности, так как угол между радиусами равен 180°.
• Площадь сектора можно вычислить по формуле: S = (alpha / 360°) * π * r², где alpha - угол в градусах, r - радиус окружности.

5. Итог:

• Поскольку в данной задаче требуется площадь сектора, ограниченного радиусами и окружностью, мы можем заключить, что площадь сектора будет равна половине площади окружности.
• Таким образом, если мы знаем радиус окружности, мы можем подставить его в формулу и получить ответ.

Поскольку в условиях задачи не указаны конкретные значения для радиуса окружности, окончательный ответ будет зависеть от вычислений радиуса окружности, вписанной в треугольник DTO, и его площади. Если радиус r известен, то площадь сектора будет равна (1/2) * π * r².