Чтобы найти длину третьей стороны треугольника, в котором известны две стороны и синус угла между ними, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника. Давайте обозначим стороны как a = 7, b = 8 и угол между ними как α, для которого мы знаем, что sin(α) = 4√3/7.

Сначала мы можем найти площадь треугольника с помощью следующей формулы:

• S = (1/2) * a * b * sin(α)

Подставим известные значения:

• S = (1/2) * 7 * 8 * (4√3/7)

Теперь упростим это выражение:

• S = (1/2) * 7 * 8 * (4√3/7) = (1/2) * 8 * 4√3 = 16√3.

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона для нахождения длины третьей стороны. Сначала нам нужно использовать следующую формулу:

• s = (a + b + c) / 2,
• S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)),

Где c - это длина третьей стороны, которую мы хотим найти. Таким образом, мы можем выразить c через S:

• S = √(s * (s - 7) * (s - 8) * (s - c)).

Теперь, чтобы упростить задачу, воспользуемся другой формулой для нахождения третьей стороны через известные стороны и угол:

• c² = a² + b² - 2ab * cos(α).

Однако для этого нам нужно найти cos(α). Мы можем воспользоваться основным тригонометрическим соотношением:

• sin²(α) + cos²(α) = 1.

Подставим значение sin(α):

• cos²(α) = 1 - (4√3/7)² = 1 - (48/49) = 1/49.

Таким образом, cos(α) = ±1/7. Теперь подставим это значение в формулу для c:

• c² = 7² + 8² - 2 * 7 * 8 * (1/7).

Упростим:

• c² = 49 + 64 - 16 = 97.

Теперь найдём c:

• c = √97.

Итак, длина третьей стороны треугольника равна √97.