Высота, опущенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит её на отрезки 9 см и 16 см. Как найти стороны этого треугольника?

Геометрия 9 класс Прямоугольный треугольник и его свойства гипотенуза прямоугольный треугольник высота отрезки 9 см 16 см стороны треугольника геометрия 9 класс задача решение Теорема Пифагора свойства треугольников Новый

Конечно, давайте подробно разберем решение этой задачи.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором высота, опущенная к гипотенузе, делит её на два отрезка длиной 9 см и 16 см. Нам нужно найти длины сторон этого треугольника.

Для решения задачи воспользуемся следующими шагами:

1. Обозначим стороны треугольника:
   • Пусть \( a \) и \( b \) — катеты треугольника.
   • Пусть \( c \) — гипотенуза треугольника.
2. Найдем длину гипотенузы:

   Высота, опущенная к гипотенузе, делит её на два отрезка. Длина гипотенузы равна сумме длин этих отрезков:

   \( c = 9 + 16 = 25 \) см.

3. Используем свойство прямоугольного треугольника:

   В прямоугольном треугольнике высота, опущенная к гипотенузе, делит его на два прямоугольных треугольника, которые подобны исходному треугольнику и друг другу. Это значит, что:

   • Отношение катетов к гипотенузе сохраняется.
4. Найдем длины катетов с помощью теоремы Пифагора:

   Для этого воспользуемся формулой, связывающей длины отрезков, на которые делится гипотенуза, и высоту:

   \( h = \sqrt{p \cdot q} \), где \( p \) и \( q \) — отрезки гипотенузы, на которые её делит высота.

   В нашем случае:

   \( h = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12 \) см.

5. Используем теорему Пифагора:

   Теперь, зная высоту и гипотенузу, можем найти катеты. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

   \( a^2 + b^2 = c^2 \).

   Также, учитывая, что высота делит гипотенузу на два отрезка, применим формулы:

   • \( a = \sqrt{p \cdot c} = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{225} = 15 \) см.
   • \( b = \sqrt{q \cdot c} = \sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{400} = 20 \) см.

Итак, мы нашли, что длины катетов данного прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см, а гипотенуза — 25 см.